Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)>0$ và có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $\left( x+1 \right){f}'\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{f\left( x \right)}}{x+2}$ và $f\left( 0 \right)={{\left( \dfrac{\ln 2}{2} \right)}^{2}}$. Giá trị $f\left( 3 \right)$ bằng
A. $4{{\left( 4\ln 2-\ln 5 \right)}^{2}}$
B. $2{{\left( 4\ln 2-\ln 5 \right)}^{2}}$
C. $\dfrac{1}{2}{{\left( 4\ln 2-\ln 5 \right)}^{2}}$
D. $\dfrac{1}{4}{{\left( 4\ln 2-\ln 5 \right)}^{2}}$
A. $4{{\left( 4\ln 2-\ln 5 \right)}^{2}}$
B. $2{{\left( 4\ln 2-\ln 5 \right)}^{2}}$
C. $\dfrac{1}{2}{{\left( 4\ln 2-\ln 5 \right)}^{2}}$
D. $\dfrac{1}{4}{{\left( 4\ln 2-\ln 5 \right)}^{2}}$
Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:
$\left( x+1 \right){f}'\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{f\left( x \right)}}{x+2}\Leftrightarrow 2\dfrac{{f}'\left( x \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)}}=\dfrac{1}{\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)} \left( * \right)$
Lấy nguyên hàm hai vế của $\left( * \right)$ :
$2\int{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)}}dx}=\int{\dfrac{1}{\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)}}dx\Leftrightarrow 2\sqrt{f\left( x \right)}=\ln \left| \dfrac{x+1}{x+2} \right|+C$
Với $f\left( 0 \right)={{\left( \dfrac{\ln 2}{2} \right)}^{2}}\Rightarrow 2\sqrt{f\left( 0 \right)}=\ln \dfrac{1}{2}+C\Leftrightarrow 2\sqrt{{{\left( \dfrac{\ln 2}{2} \right)}^{2}}}=\ln \dfrac{1}{2}+C\Leftrightarrow C=2\ln 2$.
Suy ra $2\sqrt{f\left( x \right)}=\ln \left| \dfrac{x+1}{x+2} \right|+2\ln 2 \left( ** \right)$.
Thay $x=3$ vào $\left( ** \right)$, $2\sqrt{f\left( 3 \right)}=\ln \dfrac{4}{5}+2\ln 2=4\ln 2-\ln 5\Leftrightarrow f\left( 3 \right)=\dfrac{1}{4}{{\left( 4\ln 2-\ln 5 \right)}^{2}}$.
$\left( x+1 \right){f}'\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{f\left( x \right)}}{x+2}\Leftrightarrow 2\dfrac{{f}'\left( x \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)}}=\dfrac{1}{\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)} \left( * \right)$
Lấy nguyên hàm hai vế của $\left( * \right)$ :
$2\int{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)}}dx}=\int{\dfrac{1}{\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)}}dx\Leftrightarrow 2\sqrt{f\left( x \right)}=\ln \left| \dfrac{x+1}{x+2} \right|+C$
Với $f\left( 0 \right)={{\left( \dfrac{\ln 2}{2} \right)}^{2}}\Rightarrow 2\sqrt{f\left( 0 \right)}=\ln \dfrac{1}{2}+C\Leftrightarrow 2\sqrt{{{\left( \dfrac{\ln 2}{2} \right)}^{2}}}=\ln \dfrac{1}{2}+C\Leftrightarrow C=2\ln 2$.
Suy ra $2\sqrt{f\left( x \right)}=\ln \left| \dfrac{x+1}{x+2} \right|+2\ln 2 \left( ** \right)$.
Thay $x=3$ vào $\left( ** \right)$, $2\sqrt{f\left( 3 \right)}=\ln \dfrac{4}{5}+2\ln 2=4\ln 2-\ln 5\Leftrightarrow f\left( 3 \right)=\dfrac{1}{4}{{\left( 4\ln 2-\ln 5 \right)}^{2}}$.
Đáp án D.