Cho hàm số đa thức $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x...

Ta có $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2\left| x-1 \right|-2x+m \right)=f\left( {{\left( x-1 \right)}^{2}}-2\left| x-1 \right|+m-1 \right)$
Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{\left( x-1 \right)}^{2}}-2\left| x-1 \right|+m-1 \right)$ bằng số điểm cực trị hàm số $h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2\left| x \right|+m-1 \right)$
Hàm số $y=h\left( x \right)$ là hàm số chẵn có 9 cực trị $\Leftrightarrow k\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2x+m-1 \right)$ có 4 điểm cực trị dương.
Mà ${k}'\left( x \right)=\left( 2x-2 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-2x+m-1 \right)$. Từ đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ ta có
${k}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{x}^{2}}-2x+m-1=1 \\
& {{x}^{2}}-2x+m-1=2 \\
& {{x}^{2}}-2x+m-1=3 \\
& {{x}^{2}}-2x+m-1=0 \left( * \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& -{{x}^{2}}+2x+2=m \left( 1 \right) \\
& -{{x}^{2}}+2x+3=m \left( 2 \right) \\
& -{{x}^{2}}+2x+4=m \left( 3 \right) \\
& -{{x}^{2}}+2x+1=m \\
\end{aligned} \right.$
Riêng trường hợp phương trình (*) nếu có nghiệm thì đó là nghiệm bội chẵn của phương trình ${k}'\left( x \right)=0$ nên nghiệm này không là điểm cực trị của hàm số $y=k\left( x \right)$
Hàm số $y=k\left( x \right)$ có 4 điểm cực trị dương khi và chỉ khi phương trình (1), (2), (3) có đúng 3 nghiệm dương phân biệt khác 1.
Từ đồ thị trên và kết hợp $m\in \left[ 0; 6 \right]; 2m\in \mathbb{Z}$ ta có $m\in \left\{ \dfrac{7}{2}; 2; \dfrac{3}{2}; 1; \dfrac{1}{2}; 0 \right\}$