Google
Câu hỏi: Cho hàm số đa thức $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây
Khi đó $\int\limits_{0}^{1}{xf\left( x \right){f}'\left( x \right)\text{d}x}$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 0;\dfrac{1}{2} \right)$.
B. $\left( \dfrac{1}{2};2 \right)$.
C. $\left( -\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2} \right)$.
D. $\left( -\dfrac{1}{2};0 \right)$
A. $\left( 0;\dfrac{1}{2} \right)$.
B. $\left( \dfrac{1}{2};2 \right)$.
C. $\left( -\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2} \right)$.
D. $\left( -\dfrac{1}{2};0 \right)$
Dựa vào đồ thị ta thấy $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$.
Do đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( 0;2 \right),\left( 1;1 \right)$ và điểm $\left( 3;1 \right)$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& d=2 \\
& a+b+c+d=1 \\
& 27a+9b+3c+d=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$, do điểm $x=0$ là cực trị của hàm số nên ${f}'\left( 0 \right)=0\Rightarrow c=0$.
Giải hệ 4 phương trình 4 ẩn ở trên ta thu được $\left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{4}{9} \\
& b=-\dfrac{13}{9} \\
& c=0 \\
& d=2 \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra $ f\left( x \right)=\dfrac{4}{9}{{x}^{3}}-\dfrac{13}{9}{{x}^{2}}+2$.
Khi đó:
$\int\limits_{0}^{1}{xf\left( x \right){f}'\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{x\left( \dfrac{4}{9}{{x}^{3}}-\dfrac{13}{9}{{x}^{2}}+2 \right)\left( \dfrac{4}{3}{{x}^{2}}-\dfrac{26}{9}x \right)\text{d}x=-\dfrac{7442}{8505}\approx -0,875\in \left( -\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2} \right)}$.
Do đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( 0;2 \right),\left( 1;1 \right)$ và điểm $\left( 3;1 \right)$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& d=2 \\
& a+b+c+d=1 \\
& 27a+9b+3c+d=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$, do điểm $x=0$ là cực trị của hàm số nên ${f}'\left( 0 \right)=0\Rightarrow c=0$.
Giải hệ 4 phương trình 4 ẩn ở trên ta thu được $\left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{4}{9} \\
& b=-\dfrac{13}{9} \\
& c=0 \\
& d=2 \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra $ f\left( x \right)=\dfrac{4}{9}{{x}^{3}}-\dfrac{13}{9}{{x}^{2}}+2$.
Khi đó:
$\int\limits_{0}^{1}{xf\left( x \right){f}'\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{x\left( \dfrac{4}{9}{{x}^{3}}-\dfrac{13}{9}{{x}^{2}}+2 \right)\left( \dfrac{4}{3}{{x}^{2}}-\dfrac{26}{9}x \right)\text{d}x=-\dfrac{7442}{8505}\approx -0,875\in \left( -\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2} \right)}$.
Đáp án C.