Cho hàm số đa thức $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Cho hàm số đa thức

y = f (x)

có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Khi đó

\int_{0}^{1} x f (x) f^{'} (x) d x

thuộc khoảng nào dưới đây?
A.

(0; \frac{1}{2})

.
B.

(\frac{1}{2}; 2)

.
C.

(- \frac{3}{2}; - \frac{1}{2})

.
D.

(- \frac{1}{2}; 0)

Dựa vào đồ thị ta thấy

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

.
Do đồ thị hàm số đi qua điểm

(0; 2), (1; 1)

và điểm

(3; 1)

nên

{\begin{aligned} d = 2 \\ a + b + c + d = 1 \\ 27 a + 9 b + 3 c + d = 1 \end{aligned}

.
Ta có

f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c

, do điểm

x = 0

là cực trị của hàm số nên

f^{'} (0) = 0 \Rightarrow c = 0

.
Giải hệ 4 phương trình 4 ẩn ở trên ta thu được

{\begin{aligned} a = \frac{4}{9} \\ b = - \frac{13}{9} \\ c = 0 \\ d = 2 \end{aligned}

. Suy ra

f (x) = \frac{4}{9} x^{3} - \frac{13}{9} x^{2} + 2

.
Khi đó:

\int_{0}^{1} x f (x) f^{'} (x) d x = \int_{0}^{1} x (\frac{4}{9} x^{3} - \frac{13}{9} x^{2} + 2) (\frac{4}{3} x^{2} - \frac{26}{9} x) d x = - \frac{7442}{8505} \approx - 0, 875 \in (- \frac{3}{2}; - \frac{1}{2})

.

Đáp án C.

Cho hàm số đa thức y=f(x) có đồ thị như hình vẽ...