Cho hàm số đa thức $y=f\left( x \right)$ có đồ thị của hàm số...

Phương pháp:
- Biến đổi, xét hàm đặc trưng.
- Chứng minh hàm đặc trưng đơn điệu trên khoảng giá trị của $x,$ từ đó suy ra bất đẳng thức bậc hai.
- Tìm điều kiện để bất phương trình bậc hai có nghiệm.
Cách giải:
Ta có
$f\left( 1-{{x}^{2}} \right)-f\left( -2{{x}^{2}}+2mx+1-3{{m}^{2}} \right)>{{x}^{2}}-2mx+3{{m}^{2}}$
$\Leftrightarrow f\left( 1-{{x}^{2}} \right)-\left( 1-{{x}^{2}} \right)>f\left( -2{{x}^{2}}+2mx+1-3{{m}^{2}} \right)-\left( -2{{x}^{2}}+2mx+1-3{{m}^{2}} \right)$
Xét hàm số $y=f\left( t \right)-t\left( t\le 1 \right)$ ta có $y'=f'\left( t \right)-1.$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy trên $\left( -\infty ;1 \right]$ thì $f'\left( t \right)\le 1\Leftrightarrow f'\left( t \right)-1\le 0\forall t\le 1.$
$\Rightarrow $ Hàm số $y=f\left( t \right)-t$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;1 \right].$
Mà $y\left( 1-{{x}^{2}} \right)>y\left( -2{{x}^{2}}+2mx+1-3{{m}^{2}} \right).$
$\Leftrightarrow 1-{{x}^{2}}>-2{{x}^{2}}+2mx+1-3{{m}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+3{{m}^{2}}<0\left( * \right)$
Ta có $\Delta '={{m}^{2}}-3{{m}^{2}}=-2{{m}^{2}}\le 0\forall m$ nên ${{x}^{2}}-2mx+3{{m}^{2}}\ge 0\forall m,$ do đó bất phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy không có giá trị nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.