Google
Câu hỏi: Cho hàm số đa thức $f\left( x \right)=m{{x}^{5}}+n{{x}^{4}}+p{{x}^{3}}+q{{x}^{2}}+hx+r$, $\left( m,n,p,q,h,r\in \mathbb{R} \right)$. Đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ lần lượt là –1; $\dfrac{3}{2}$ ; $\dfrac{5}{2}$ ; $\dfrac{11}{3}$. Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( x \right)-\left( m+n+p+q+h+r \right) \right|$ là
A. 6.
B. 7.
C. 8.
D. 9.
A. 6.
B. 7.
C. 8.
D. 9.
Vì –1; $\dfrac{3}{2}$ ; $\dfrac{5}{2}$ ; $\dfrac{11}{3}$ là nghiệm của phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ nên:
${f}'\left( x \right)=5m{{x}^{4}}+4n{{x}^{3}}+3p{{x}^{2}}+2qx+h=5m\left( x+1 \right)\left( x-\dfrac{3}{2} \right)\left( x-\dfrac{5}{2} \right)\left( x-\dfrac{11}{3} \right)$
Suy ra: $5m{{x}^{4}}+4n{{x}^{3}}+3p{{x}^{2}}+2qx+h=5m\left( {{x}^{4}}-\dfrac{20}{3}{{x}^{3}}+\dfrac{43}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{14}{3}x-\dfrac{55}{4} \right)$
Đồng nhất hệ số, ta được $n=\dfrac{-25}{3}m$ ; $p=\dfrac{215}{12}m$ ; $q=\dfrac{35}{3}m$ ; $h=\dfrac{-275}{4}m$.
Suy ra $g\left( x \right)=\left| f\left( x \right)+\dfrac{93}{2}m-r \right|$.
Xét $h\left( x \right)=f\left( x \right)+\dfrac{93}{2}m-r\Rightarrow {h}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)=0$ có bốn nghiệm phân biệt nên $h\left( x \right)$ có bốn cực trị.
Xét $h\left( x \right)=0\Leftrightarrow m{{x}^{5}}-\dfrac{25}{4}m{{x}^{4}}+\dfrac{215}{12}m{{x}^{3}}+\dfrac{35}{3}m{{x}^{2}}-\dfrac{274}{4}mx+r=\dfrac{-93}{2}m+r$
$\Leftrightarrow {{x}^{5}}-\dfrac{25}{4}{{x}^{4}}+\dfrac{215}{12}{{x}^{3}}+\dfrac{35}{3}{{x}^{2}}-\dfrac{274}{4}x+\dfrac{93}{2}=0$.
Đặt $k\left( x \right)={{x}^{5}}-\dfrac{25}{4}{{x}^{4}}+\dfrac{215}{12}{{x}^{3}}+\dfrac{35}{3}{{x}^{2}}-\dfrac{274}{4}x+\dfrac{93}{2}$.
Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình $h\left( x \right)=0\Leftrightarrow k\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số $g\left( x \right)$ có 7 cực trị.
${f}'\left( x \right)=5m{{x}^{4}}+4n{{x}^{3}}+3p{{x}^{2}}+2qx+h=5m\left( x+1 \right)\left( x-\dfrac{3}{2} \right)\left( x-\dfrac{5}{2} \right)\left( x-\dfrac{11}{3} \right)$
Suy ra: $5m{{x}^{4}}+4n{{x}^{3}}+3p{{x}^{2}}+2qx+h=5m\left( {{x}^{4}}-\dfrac{20}{3}{{x}^{3}}+\dfrac{43}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{14}{3}x-\dfrac{55}{4} \right)$
Đồng nhất hệ số, ta được $n=\dfrac{-25}{3}m$ ; $p=\dfrac{215}{12}m$ ; $q=\dfrac{35}{3}m$ ; $h=\dfrac{-275}{4}m$.
Suy ra $g\left( x \right)=\left| f\left( x \right)+\dfrac{93}{2}m-r \right|$.
Xét $h\left( x \right)=f\left( x \right)+\dfrac{93}{2}m-r\Rightarrow {h}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)=0$ có bốn nghiệm phân biệt nên $h\left( x \right)$ có bốn cực trị.
Xét $h\left( x \right)=0\Leftrightarrow m{{x}^{5}}-\dfrac{25}{4}m{{x}^{4}}+\dfrac{215}{12}m{{x}^{3}}+\dfrac{35}{3}m{{x}^{2}}-\dfrac{274}{4}mx+r=\dfrac{-93}{2}m+r$
$\Leftrightarrow {{x}^{5}}-\dfrac{25}{4}{{x}^{4}}+\dfrac{215}{12}{{x}^{3}}+\dfrac{35}{3}{{x}^{2}}-\dfrac{274}{4}x+\dfrac{93}{2}=0$.
Đặt $k\left( x \right)={{x}^{5}}-\dfrac{25}{4}{{x}^{4}}+\dfrac{215}{12}{{x}^{3}}+\dfrac{35}{3}{{x}^{2}}-\dfrac{274}{4}x+\dfrac{93}{2}$.
Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình $h\left( x \right)=0\Leftrightarrow k\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số $g\left( x \right)$ có 7 cực trị.
Đáp án B.