Cho hàm số đa thức $f\left( x...

Vì –1; ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ ; ${\displaystyle \frac{5}{2}}$ ; ${\displaystyle \frac{11}{3}}$ là nghiệm của phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ nên:
$f^{\prime }\left(x\right)=5m{x}^4+4n{x}^3+3p{x}^2+2qx+h=5m(x+1)(x-{\displaystyle \frac{3}{2}})(x-{\displaystyle \frac{5}{2}})(x-{\displaystyle \frac{11}{3}})$
Suy ra: $5m{x}^4+4n{x}^3+3p{x}^2+2qx+h=5m(x^4-{\displaystyle \frac{20}{3}}{x}^3+{\displaystyle \frac{43}{4}}{x}^2+{\displaystyle \frac{14}{3}}x-{\displaystyle \frac{55}{4}})$
Đồng nhất hệ số, ta được $n={\displaystyle \frac{-25}{3}}m$ ; $p={\displaystyle \frac{215}{12}}m$ ; $q={\displaystyle \frac{35}{3}}m$ ; $h={\displaystyle \frac{-275}{4}}m$.
Suy ra $g\left(x\right)=|f\left(x\right)+{\displaystyle \frac{93}{2}}m-r|$.
Xét $h\left(x\right)=f\left(x\right)+{\displaystyle \frac{93}{2}}m-r\Rightarrow h^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)=0$ có bốn nghiệm phân biệt nên $h\left(x\right)$ có bốn cực trị.
Xét $h\left(x\right)=0\iff m{x}^5-{\displaystyle \frac{25}{4}}m{x}^4+{\displaystyle \frac{215}{12}}m{x}^3+{\displaystyle \frac{35}{3}}m{x}^2-{\displaystyle \frac{274}{4}}mx+r={\displaystyle \frac{-93}{2}}m+r$
$\iff x^5-{\displaystyle \frac{25}{4}}{x}^4+{\displaystyle \frac{215}{12}}{x}^3+{\displaystyle \frac{35}{3}}{x}^2-{\displaystyle \frac{274}{4}}x+{\displaystyle \frac{93}{2}}=0$.
Đặt $k\left(x\right)=x^5-{\displaystyle \frac{25}{4}}{x}^4+{\displaystyle \frac{215}{12}}{x}^3+{\displaystyle \frac{35}{3}}{x}^2-{\displaystyle \frac{274}{4}}x+{\displaystyle \frac{93}{2}}$.


Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình $h\left(x\right)=0\iff k\left(x\right)=0$ có 3 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số $g\left(x\right)$ có 7 cực trị.