Cho hàm số đa thức bậc bốn $y=f\left( x \right)$, đồ thị của hàm...

Do ${f}'\left( 1-x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right. $ (với $ x=1 $ là nghiệm kép);$ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} {f}'\left( 1-x \right)=-\infty $và $ y={f}'\left( 1-x \right) $ là hàm số bậc ba nên $ {f}'\left( 1-x \right)=-k{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x-3 \right) $ (với $ k>0$).
$\Rightarrow {f}'\left( 1-x \right)=k{{\left( 1-x \right)}^{2}}\left( 2+1-x \right)$.
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)=k{{x}^{2}}\left( 2+x \right)$.
Đồ thị của hàm số $y={f}'\left( 1-x \right)$ đi qua điểm có tọa độ $\left( 0;3 \right)$ nên ${f}'\left( 1-0 \right)=3\Leftrightarrow {f}'\left( 1 \right)=3$
$\Rightarrow k{{.1}^{2}}\left( 2+1 \right)=3\Leftrightarrow k=1$.
Khi đó ${f}'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( 2+x \right)$.
Ta có ${h}'\left( x \right)={f}' \left( x \right)-3x={{x}^{2}}\left( 2+x \right)-3x=x\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)$.
Cho ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
& x=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên
Khi đó hàm số $h\left( x \right)=f\left( x \right)-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất trên $\left[ 0;2 \right]$ tại $x=1$.