Google
Câu hỏi: Cho hàm số đa thức bậc ba $f(x)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ có đồ thị như hình vẽ, và $g(x)=\sqrt[9]{2018+x}-\sqrt[9]{2018-x}+2020\text{x}$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $g\left[ 2019f\left( \sqrt{15{{\text{x}}^{2}}-30\text{x}+16} \right) \right]+g\left[ m\sqrt{15{{x}^{2}}-30\text{x}+16}+m \right]=0$ có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ 0;2 \right]$ ?
A. 1513
B. Không có giá trị nào của m.
C. 1515
D. 1514
A. 1513
B. Không có giá trị nào của m.
C. 1515
D. 1514
Xét hàm số $g(x)=\sqrt[9]{2018+x}-\sqrt[9]{2018-x}+2020x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Với $\forall x\in \mathbb{R}$, ta có $-x\in \mathbb{R},g(-x)=\sqrt[9]{2018-x}+\sqrt[9]{2018+x}-2020\text{x}=-g(x)$ nên $y=g(x)$ là hàm số lẻ.
Mặt khác ${g}'(x)=\dfrac{1}{9\sqrt[9]{{{(2018+x)}^{8}}}}+\dfrac{1}{9\sqrt[9]{{{(2018-x)}^{8}}}}+2020>0,\forall x\in \mathbb{R}$ và $y=g(x)$ liên tục trên ℝ nên $y=g(x)$ đồng biến trên ℝ.
Do đó $g\left[ 2019f\left( \sqrt{15{{\text{x}}^{2}}-30\text{x}+16} \right) \right]+g\left[ m\sqrt{15{{\text{x}}^{2}}-30\text{x}+16}+m \right]=0$
$\Leftrightarrow g\left[ 2019f\left( \sqrt{15{{\text{x}}^{2}}-30\text{x}+16} \right) \right]=-g\left[ m\sqrt{15{{\text{x}}^{2}}-30\text{x}+16}+m \right]$
$\Leftrightarrow g\left[ 2019f\left( \sqrt{15{{\text{x}}^{2}}-30\text{x}+16} \right) \right]=g\left[ -m\sqrt{15{{\text{x}}^{2}}-30\text{x}+16}-m \right]$
$\Leftrightarrow 2019f\left( \sqrt{15{{\text{x}}^{2}}-30\text{x}+16} \right)=-m\sqrt{15{{\text{x}}^{2}}-30\text{x}+16}-m$
Từ giả thiết ta có $f(x)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{4}{3}{{x}^{2}}-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{3}$
Đặt $t=\sqrt{15{{\text{x}}^{2}}-30\text{x}+16}\Leftrightarrow t=\sqrt{15{{(x-1)}^{2}}+1}$ do $x\in \left[ 0;2 \right]$ nên $t\in \left[ 1;4 \right]$.
Nhận xét:
Với mỗi $t\in \left( 1;4 \right]$ tương ứng có 2 giá trị $x\in \left[ 0;2 \right]$.
Với $t=1$ tương ứng có 1 giá trị $x\in \left[ 0;2 \right]$.
Phương trình: $2019f\left( \sqrt{15{{\text{x}}^{2}}-30\text{x}+16} \right)+m\sqrt{15{{\text{x}}^{2}}-30\text{x}+16}+m=0$ (1)
Trở thành: $2019f(t)+mt+m=0\Leftrightarrow m=\dfrac{-2019f(t)}{t+1}$ với $t\in \left[ 1;4 \right]$.
$\Leftrightarrow m=-2019\left( \dfrac{1}{3}{{t}^{2}}-\dfrac{5}{3}t+\dfrac{4}{3} \right)\Leftrightarrow -m=673({{t}^{2}}-5t+4)$ với $t\in \left[ 1;4 \right]$ (2)
Phương trình (1) có 4 nghiệm x phân biệt thuộc đoạn $\left[ 0;2 \right]$ tương đương phương trình (2) có 2 nghiệm t phân biệt thuộc nửa khoảng $\left( 1;4 \right]$.
Xét $h(t)=673({{t}^{2}}-5t+4)$ với $t\in \left( 1;4 \right]$.
Bảng biến thiên $h(t)$ :
Dựa vào bảng biến thiên suy ra: $-\dfrac{6057}{4}<-m<0$ và m nguyên suy ra $1\le m\le 1514$.
Vậy có 1514 giá trị m nguyên thỏa mãn.
Với $\forall x\in \mathbb{R}$, ta có $-x\in \mathbb{R},g(-x)=\sqrt[9]{2018-x}+\sqrt[9]{2018+x}-2020\text{x}=-g(x)$ nên $y=g(x)$ là hàm số lẻ.
Mặt khác ${g}'(x)=\dfrac{1}{9\sqrt[9]{{{(2018+x)}^{8}}}}+\dfrac{1}{9\sqrt[9]{{{(2018-x)}^{8}}}}+2020>0,\forall x\in \mathbb{R}$ và $y=g(x)$ liên tục trên ℝ nên $y=g(x)$ đồng biến trên ℝ.
Do đó $g\left[ 2019f\left( \sqrt{15{{\text{x}}^{2}}-30\text{x}+16} \right) \right]+g\left[ m\sqrt{15{{\text{x}}^{2}}-30\text{x}+16}+m \right]=0$
$\Leftrightarrow g\left[ 2019f\left( \sqrt{15{{\text{x}}^{2}}-30\text{x}+16} \right) \right]=-g\left[ m\sqrt{15{{\text{x}}^{2}}-30\text{x}+16}+m \right]$
$\Leftrightarrow g\left[ 2019f\left( \sqrt{15{{\text{x}}^{2}}-30\text{x}+16} \right) \right]=g\left[ -m\sqrt{15{{\text{x}}^{2}}-30\text{x}+16}-m \right]$
$\Leftrightarrow 2019f\left( \sqrt{15{{\text{x}}^{2}}-30\text{x}+16} \right)=-m\sqrt{15{{\text{x}}^{2}}-30\text{x}+16}-m$
Từ giả thiết ta có $f(x)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{4}{3}{{x}^{2}}-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{3}$
Đặt $t=\sqrt{15{{\text{x}}^{2}}-30\text{x}+16}\Leftrightarrow t=\sqrt{15{{(x-1)}^{2}}+1}$ do $x\in \left[ 0;2 \right]$ nên $t\in \left[ 1;4 \right]$.
Nhận xét:
Với mỗi $t\in \left( 1;4 \right]$ tương ứng có 2 giá trị $x\in \left[ 0;2 \right]$.
Với $t=1$ tương ứng có 1 giá trị $x\in \left[ 0;2 \right]$.
Phương trình: $2019f\left( \sqrt{15{{\text{x}}^{2}}-30\text{x}+16} \right)+m\sqrt{15{{\text{x}}^{2}}-30\text{x}+16}+m=0$ (1)
Trở thành: $2019f(t)+mt+m=0\Leftrightarrow m=\dfrac{-2019f(t)}{t+1}$ với $t\in \left[ 1;4 \right]$.
$\Leftrightarrow m=-2019\left( \dfrac{1}{3}{{t}^{2}}-\dfrac{5}{3}t+\dfrac{4}{3} \right)\Leftrightarrow -m=673({{t}^{2}}-5t+4)$ với $t\in \left[ 1;4 \right]$ (2)
Phương trình (1) có 4 nghiệm x phân biệt thuộc đoạn $\left[ 0;2 \right]$ tương đương phương trình (2) có 2 nghiệm t phân biệt thuộc nửa khoảng $\left( 1;4 \right]$.
Xét $h(t)=673({{t}^{2}}-5t+4)$ với $t\in \left( 1;4 \right]$.
Bảng biến thiên $h(t)$ :
Dựa vào bảng biến thiên suy ra: $-\dfrac{6057}{4}<-m<0$ và m nguyên suy ra $1\le m\le 1514$.
Vậy có 1514 giá trị m nguyên thỏa mãn.
Đáp án D.