Cho hàm số đa thức bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình...

Đặt $g\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+4f\left( x \right)+3m$ ; ${\Delta }'=4-3m$.
Có ${g}'\left( x \right)=2.{f}'\left( x \right).f\left( x \right)+4{f}'\left( x \right)=2.{f}'\left( x \right).\left[ f\left( x \right)+2 \right]$.
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Từ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ ta thấy: Phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm đơn ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$.
Phương trình $f\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm đơn ${{x}_{3}},{{x}_{4}},{{x}_{5}}$. Các nghiệm ${{x}_{i}}\left( i=\overline{1,5} \right)$ khác nhau.

Ta được hàm số $y=g\left( x \right)$ có 5 cực trị. (1)
Hơn nữa $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty $ nên $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty $. (2)
Từ (1) và (2) ta có:
$h\left( x \right)=\left| g\left( x \right) \right|$ có 5 cực trị $\Leftrightarrow g\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {\Delta }'\le 0\Leftrightarrow 4-3m\le 0\Leftrightarrow m\ge \dfrac{4}{3}$.
Do đó $S=\left\{ 2;3;4;5;...;100 \right\}$.
Tổng các phần tử của $S$ là $2+3+4+...+100=\dfrac{\left( 100+2 \right).99}{2}=5049$.