Cho hàm số đa thức bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình...

Điều kiện để $\sqrt{6x+3}$ xác định là $x\ge -\dfrac{1}{2}$
Khi đó $x+2+\sqrt{6x+3}>0$
Ta có $g\left( x \right)=\dfrac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{\left[ f\left( x \right)+2 \right]\left[ f\left( x \right)+4 \right]\left[ \left( x+2 \right)+\sqrt{6x+3} \right]}$
Xét phương trình $\left[ f\left( x \right)+2 \right]\left[ f\left( x \right)+4 \right]\left[ \left( x+2 \right)+\sqrt{6x+3} \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=-2\left( 1 \right) \\
& f\left( x \right)=-4\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Mặt khác từ đồ thị $y=f\left( x \right)$ đã cho ta có $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x-2$
Trường hợp 1: $f\left( x \right)=-2\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm \sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$
Do điều kiện $x\ge -\dfrac{1}{2}$ nên đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ có hai tiệm cận đứng là $x=0, x=\sqrt{3}$
Trường hợp 2: $f\left( x \right)=-4\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.$
Tử số và mẫu số đều có nghiệm kép $x=1$ nên đường $x=1$ không là đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$
Do điều kiện $x\ge -\dfrac{1}{2}$ nên đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ không có tiệm cận đứng.