Google
Câu hỏi: Cho hàm số đa thức bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị đi qua các điểm $A\left( 2;4 \right),B\left( 3;9 \right),C\left( 4;16 \right)$. Các đường thẳng AB, AC, BC lại cắt đồ thị lần lượt tại các điểm D, E, F, (D khác A và B; E khác A và C; F khác B và C). Biết rằng tổng các hoành độ của D, E, F bằng 24. Tính $f\left( 0 \right)$.
A. $-2$.
B. 0.
C. $\dfrac{24}{5}$.
D. 2.
A. $-2$.
B. 0.
C. $\dfrac{24}{5}$.
D. 2.
Giả sử $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$, $\left( C \right)$ ta có: $AB:y=5x-6,BC:y=7x-12,AC:y=6x-8$
Phương trình hoành độ giao điểm của AB và $\left( C \right)$ có dạng:
$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d-5x-6=a\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)\left( x-{{x}_{D}} \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=a\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)\left( x-{{x}_{D}} \right)+5x-6$
Do $f\left( 4 \right)=16\Rightarrow 16=2a\left( 4-{{x}_{D}} \right)+14\Rightarrow {{x}_{D}}=4-\dfrac{1}{a}$
Tương tự ta có: $f\left( x \right)=a\left( x-3 \right)\left( x-4 \right)\left( x-{{x}_{E}} \right)+7x-12$
Mặt khác $f\left( 2 \right)=4\Rightarrow 2a\left( 2-{{x}_{E}} \right)=2\Rightarrow {{x}_{E}}=2-\dfrac{1}{a}$
$f\left( x \right)=a\left( x-2 \right)\left( x-4 \right)\left( x-{{x}_{E}} \right)+6x-8,f\left( 3 \right)=9\Leftrightarrow 9=-a\left( 3-{{x}_{E}} \right)+10\Rightarrow {{x}_{E}}=3-\dfrac{1}{a}$
Lại có: ${{x}_{D}}+{{x}_{E}}+{{x}_{F}}=24\Leftrightarrow 9-\dfrac{3}{a}=24\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{5}\Rightarrow {{x}_{D}}=9$
Khi đó $f\left( x \right)=-\dfrac{1}{5}\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)\left( x-9 \right)+5x-6\Rightarrow f\left( 0 \right)=\dfrac{24}{5}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của AB và $\left( C \right)$ có dạng:
$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d-5x-6=a\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)\left( x-{{x}_{D}} \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=a\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)\left( x-{{x}_{D}} \right)+5x-6$
Do $f\left( 4 \right)=16\Rightarrow 16=2a\left( 4-{{x}_{D}} \right)+14\Rightarrow {{x}_{D}}=4-\dfrac{1}{a}$
Tương tự ta có: $f\left( x \right)=a\left( x-3 \right)\left( x-4 \right)\left( x-{{x}_{E}} \right)+7x-12$
Mặt khác $f\left( 2 \right)=4\Rightarrow 2a\left( 2-{{x}_{E}} \right)=2\Rightarrow {{x}_{E}}=2-\dfrac{1}{a}$
$f\left( x \right)=a\left( x-2 \right)\left( x-4 \right)\left( x-{{x}_{E}} \right)+6x-8,f\left( 3 \right)=9\Leftrightarrow 9=-a\left( 3-{{x}_{E}} \right)+10\Rightarrow {{x}_{E}}=3-\dfrac{1}{a}$
Lại có: ${{x}_{D}}+{{x}_{E}}+{{x}_{F}}=24\Leftrightarrow 9-\dfrac{3}{a}=24\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{5}\Rightarrow {{x}_{D}}=9$
Khi đó $f\left( x \right)=-\dfrac{1}{5}\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)\left( x-9 \right)+5x-6\Rightarrow f\left( 0 \right)=\dfrac{24}{5}$.
Đáp án C.