Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$. Đồ thị hàm số $y={f}'(x)$ như hình vẽ...

Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống
Ta có ${g}'(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}}{f}'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+2} \right)$
Suy ra
${g}'(x)=0\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x+1=0 \\
{f}'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+2} \right)=0 \\
\end{array}\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x+1=0 \\
\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}=-1 \\
\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}=1 \\
\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}=3 \\
\end{array} \right. \right.$$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-1 \\ x=-1+\sqrt{2} \\ x=-1-\sqrt{2}\end{array}\right.$.
Bảng xét dấu ${g}'(x)$ như sau:

Từ đó suy ra hàm số $g(x)=f\left(\sqrt{x^{2}+2 x+2}\right)$ có 1 điểm cực đại.
Chú ý: Cách xét dấu $\left( - \right)$ hay $\left( + \right)$ của ${g}'\left( x \right)$ để cho nhanh nhất ta lấy một giá trị $x_{0}$ thuộc khoảng đang xét rồi thay vào ${g}'\left( x \right)$.
Chẳng hạn với khoảng $(-1 ;-1+\sqrt{2})$ ta chọn ${{x}_{0}}=0\Rightarrow {g}'(0)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}{f}'(\sqrt{2})<0$ vì dựa vào đồ thị ta thấy ${f}'\left( \sqrt{2} \right)<0$.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}\Rightarrow {t}'=\dfrac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}}=0\Rightarrow x=-1\Rightarrow t=1$
Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào đồ thị trên khoảng $(1 ;+\infty), f(t)$ có 1 điểm cực tiểu tại $t=2$ do đạo hàm đổi dấu từ (-) sang (+).
Tại điểm $t=1$ là điểm cực đại vì dựa vào đồ thị hàm số ${f}'(t)$ đổi dấu từ $(+)$ sang (-).
Do đó hàm số đã cho có 1 cực đại.