Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao...

Do $\{\begin{array}{rl}& f\left(x\right)>0\\ & x^2>0\end{array}\Rightarrow m>0$. Điều kiện $m>0$
$\log {\displaystyle \frac{f(x)}{m{x}^2}}+x[f(x)-mx]=m{x}^3-f(x)\iff \log f\left(x\right)+f\left(x\right)-(\log m{x}^2+m{x}^2)+x(f\left(x\right)-m{x}^2)=0\left(2\right).$ Xét hàm số $y=\log t+t,(t>0)$.
$y^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{t.\ln 10}}+1>0,\mathrm{\forall }t>0$. Vậy $y=\log t+t,(t>0)$ đồng biến (1).
Do xét phương trình có 2 nghiệm dương nên ta xét $x>0$.
$f\left(x\right)>m{x}^2\Rightarrow VT\left(2\right)>0$ nên $\left(2\right)$ vô nghiệm.
$f\left(x\right)<m{x}^2\Rightarrow VT\left(2\right)<0$ nên $\left(2\right)$ vô nghiệm.
Do đó $f\left(x\right)=m{x}^2\iff x^4-2x^2+4=m{x}^2\iff x^4-(2+m)x^2+4=0$
Đặt $a=x^2(a>0)$, ta có phương trình $a^2-(2+m)a+4=0$. Đặt $h\left(a\right)=a^2-(2+m)a+4$.
Để phương trình $\log {\displaystyle \frac{f(x)}{m{x}^2}}+x[f(x)-mx]=m{x}^3-f(x)$ có 2 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi phương trình $x^4-(2+m)x^2+4=0\left(2\right)$ có 2 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi phương trình $a^2-(2+m)a+4=0$ có 2 nghiệm $a_1,a_2$ thỏa mãn $0<a_1<a_2$.Khi đó điều kiện là $\{\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }>0\\ & h\left(0\right)>0\\ & {\displaystyle \frac{m+2}{2}}>0\\ & m>0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m^2+4m-12>0\\ & 4>0\\ & m>-2\\ & m>0\end{array}\iff m>2$.
Do $\{\begin{array}{rl}& m>2\\ & m\in \mathbb{Z}\\ & m\in [-2021;2021]\end{array}$ nên có 2019 giá trị của $m$.