Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao...

Do $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)>0 \\
& {{x}^{2}}>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m>0 $. Điều kiện $ m>0$
$\log \dfrac{f(x)}{m{{x}^{2}}}+x[f(x)-mx]=m{{x}^{3}}-f(x)\Leftrightarrow \log f\left( x \right)+f\left( x \right)-\left( \log m{{x}^{2}}+m{{x}^{2}} \right)+x\left( f\left( x \right)-m{{x}^{2}} \right)=0\ \left( 2 \right).$ Xét hàm số $y=\log t+t,\ \left( t>0 \right)$.
$y'=\dfrac{1}{t.\ln 10}+1>0\ ,\forall t>0$. Vậy $y=\log t+t,\ \left( t>0 \right)$ đồng biến (1).
Do xét phương trình có 2 nghiệm dương nên ta xét $x>0$.
$f\left( x \right)>m{{x}^{2}}\Rightarrow VT\left( 2 \right)>0$ nên $\left( 2 \right)$ vô nghiệm.
$f\left( x \right)<m{{x}^{2}}\Rightarrow VT\left( 2 \right)<0$ nên $\left( 2 \right)$ vô nghiệm.
Do đó $f\left( x \right)=m{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+4=m{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{4}}-(2+m){{x}^{2}}+4=0$
Đặt $a={{x}^{2}}\ \left( a>0 \right)$, ta có phương trình ${{a}^{2}}-\left( 2+m \right)a+4=0$. Đặt $h\left( a \right)={{a}^{2}}-\left( 2+m \right)a+4$.
Để phương trình $\log \dfrac{f(x)}{m x^{2}}+x[f(x)-m x]=m x^{3}-f(x)$ có 2 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi phương trình ${{x}^{4}}-(2+m){{x}^{2}}+4=0\ \left( 2 \right)$ có 2 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi phương trình ${{a}^{2}}-\left( 2+m \right)a+4=0$ có 2 nghiệm ${{a}_{1}},\ {{a}_{2}}$ thỏa mãn $0<{{a}_{1}}<\ {{a}_{2}}$.Khi đó điều kiện là $\left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& h\left( 0 \right)>0 \\
& \dfrac{m+2}{2}>0 \\
& m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}+4m-12>0 \\
& 4>0 \\
& m>-2 \\
& m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>2$.
Do $\left\{ \begin{aligned}
& m>2 \\
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left[ -2021;2021 \right] \\
\end{aligned} \right. $ nên có 2019 giá trị của $ m$.