Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$...

Đặt $g\left( x \right)=f\left( \left| 4-2x \right|+m-6 \right)$.
Nhận thấy $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty \left( do \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty \right)$.
Vậy hàm số $g\left( x \right)$ có đúng 3 điểm cực tiểu khi hàm số $g\left( x \right)$ có đúng 5 điểm cực trị
Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)$ bằng số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( \left| x \right|+m-6 \right)$
Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( \left| x \right|+m-6 \right)$ bằng 2 lần số điểm cực trị dương của hàm số $h\left( x \right)=f\left( x+m-6 \right)$ cộng với 1.
Vậy hàm số $g\left( x \right)$ có đúng 5 điểm cực trị $\Leftrightarrow $ hàm số $h\left( x \right)$ có đúng 2 điểm cực trị dương.
Từ đồ thị của hàm số $y=f(x)$ suy ra hàm số $h\left( x \right)$ đạt cực trị tại các điểm thỏa mãn:
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+m-6=-1 \\
& x+m-6=1 \\
& x+m-6=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=5-m \\
& x=7-m \\
& x=10-m \\
\end{aligned} \right.$
Vậy hàm số $h\left( x \right)$ có đúng 2 điểm cực trị dương$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 7-m>0 \\
& 5-m\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 5\le m<7$.
Suy ra $S=\left\{ 5 ; 6 \right\}$.