Cho hàm số bậc bốn $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ...

Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống
Do $y=f\left(x\right)$ là hàm số bậc bốn nên là hàm số liên tục và có đạo hàm luôn xác định với mọi x.
Theo đồ thị hàm số ta có được $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=x_1\in (-2;-1)\\ & x=x_2\in (-1;0)\\ & x=x_3\in (0;{\displaystyle \frac{3}{4}})\end{array}.$
Mặt khác $g^{\prime }\left(x\right)=(6x^2+6x).f^{\prime }(2x^3+3x^2)=0\iff [\begin{array}{rl}& 6x^2+6x=0\\ & f^{\prime }(2x^3+3x^2)=0\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=-1\\ & 2x^3+3x^2=x_1\\ & 2x^3+3x^2=x_2\\ & 2x^3+3x^2=x_3\end{array}.$
Xét hàm số $h\left(x\right)=2x^3+3x^2$ trên $\mathbb{R}.$
Ta có $h^{\prime }\left(x\right)=6x^2+6x=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=-1\end{array},$ từ đó ta có bảng biến thiên của $y=h\left(x\right)$ như sau:

Từ BBT của hàm số $h\left(x\right)=2x^3+3x^2$ nên ta có $h\left(x\right)=x_1$ có đúng một nghiệm, $h\left(x\right)=x_2$ có đúng 1 nghiệm, $h\left(x\right)=x_3$ có đúng ba nghiệm phân biệt và các nghiệm này đều khác 0 và $-1.$
Vì thế phương trình $g^{\prime }\left(x\right)=0$ có đúng bảy nghiệm phân biệt và đều là các nghiệm đơn nên hàm số $y=g\left(x\right)$ có 7 cực trị.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Cọi a, b, c là các điểm cực trị của hàm số $y=f\left(x\right),$ trong đó $-2<a<b<0<c<{\displaystyle \frac{3}{4}}.$
Đặt $t=2x^3+3x^2;t^{\prime }=0\iff 6x^2+6x=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=-1\end{array}.$
Khi đó phương trình $g\left(x\right)=f(2x^2+3x^2)=f\left(t\right).$
Ta có bảng biến thiên

Do phương trình $g^{\prime }\left(x\right)=0$ có đúng bảy nghiệm phân biệt và đều là các nghiệm đơn nên hàm số $y=g\left(x\right)$ có 7 cực trị