Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc bốn $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)=f\left( 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right)$ là
A. 5.
B. 3.
C. 7.
D. 11.
Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)=f\left( 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right)$ là
A. 5.
B. 3.
C. 7.
D. 11.
Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống
Do $y=f\left( x \right)$ là hàm số bậc bốn nên là hàm số liên tục và có đạo hàm luôn xác định với mọi x.
Theo đồ thị hàm số ta có được ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}}\in \left( -2;-1 \right) \\
& x={{x}_{2}}\in \left( -1;0 \right) \\
& x={{x}_{3}}\in \left( 0;\dfrac{3}{4} \right) \\
\end{aligned} \right..$
Mặt khác ${g}'\left( x \right)=\left( 6{{x}^{2}}+6x \right).{f}'\left( 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 6{{x}^{2}}+6x=0 \\
& {f}'\left( 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-1 \\
& 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}={{x}_{1}} \\
& 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}={{x}_{2}} \\
& 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}={{x}_{3}} \\
\end{aligned} \right..$
Xét hàm số $h\left( x \right)=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}$ trên $\mathbb{R}.$
Ta có ${h}'\left( x \right)=6{{x}^{2}}+6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right., $ từ đó ta có bảng biến thiên của $ y=h\left( x \right)$ như sau:
Từ BBT của hàm số $h\left( x \right)=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}$ nên ta có $h\left( x \right)={{x}_{1}}$ có đúng một nghiệm, $h\left( x \right)={{x}_{2}}$ có đúng 1 nghiệm, $h\left( x \right)={{x}_{3}}$ có đúng ba nghiệm phân biệt và các nghiệm này đều khác 0 và $-1.$
Vì thế phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có đúng bảy nghiệm phân biệt và đều là các nghiệm đơn nên hàm số $y=g\left( x \right)$ có 7 cực trị.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Cọi a, b, c là các điểm cực trị của hàm số $y=f\left( x \right),$ trong đó $-2<a<b<0<c<\dfrac{3}{4}.$
Đặt $t=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}};{t}'=0\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}+6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó phương trình $g\left( x \right)=f\left( 2{{x}^{2}}+3{{x}^{2}} \right)=f\left( t \right).$
Ta có bảng biến thiên
Do phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có đúng bảy nghiệm phân biệt và đều là các nghiệm đơn nên hàm số $y=g\left( x \right)$ có 7 cực trị
Do $y=f\left( x \right)$ là hàm số bậc bốn nên là hàm số liên tục và có đạo hàm luôn xác định với mọi x.
Theo đồ thị hàm số ta có được ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}}\in \left( -2;-1 \right) \\
& x={{x}_{2}}\in \left( -1;0 \right) \\
& x={{x}_{3}}\in \left( 0;\dfrac{3}{4} \right) \\
\end{aligned} \right..$
Mặt khác ${g}'\left( x \right)=\left( 6{{x}^{2}}+6x \right).{f}'\left( 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 6{{x}^{2}}+6x=0 \\
& {f}'\left( 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-1 \\
& 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}={{x}_{1}} \\
& 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}={{x}_{2}} \\
& 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}={{x}_{3}} \\
\end{aligned} \right..$
Xét hàm số $h\left( x \right)=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}$ trên $\mathbb{R}.$
Ta có ${h}'\left( x \right)=6{{x}^{2}}+6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right., $ từ đó ta có bảng biến thiên của $ y=h\left( x \right)$ như sau:
Từ BBT của hàm số $h\left( x \right)=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}$ nên ta có $h\left( x \right)={{x}_{1}}$ có đúng một nghiệm, $h\left( x \right)={{x}_{2}}$ có đúng 1 nghiệm, $h\left( x \right)={{x}_{3}}$ có đúng ba nghiệm phân biệt và các nghiệm này đều khác 0 và $-1.$
Vì thế phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có đúng bảy nghiệm phân biệt và đều là các nghiệm đơn nên hàm số $y=g\left( x \right)$ có 7 cực trị.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Cọi a, b, c là các điểm cực trị của hàm số $y=f\left( x \right),$ trong đó $-2<a<b<0<c<\dfrac{3}{4}.$
Đặt $t=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}};{t}'=0\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}+6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó phương trình $g\left( x \right)=f\left( 2{{x}^{2}}+3{{x}^{2}} \right)=f\left( t \right).$
Ta có bảng biến thiên
Do phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có đúng bảy nghiệm phân biệt và đều là các nghiệm đơn nên hàm số $y=g\left( x \right)$ có 7 cực trị
Đáp án C.