Cho hàm số bậc bốn $y=f\left( x \right)$. Biết rằng hàm số...

Từ bảng biến thiên hàm số $g\left( x \right)=\ln f\left( x \right)$ ta có $\ln f\left( x \right)\ge \ln 3, \forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f\left( x \right)\ge 3, \forall x\in \mathbb{R}$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}$. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị là $A\left( {{x}_{1}}; \ln 30 \right), B\left( {{x}_{2}}; \ln 35 \right), C\left( {{x}_{3}}; \ln 3 \right)$ nên ${f}'\left( {{x}_{1}} \right)={f}'\left( {{x}_{2}} \right)={f}'\left( {{x}_{3}} \right)=0$.
Và $f\left( {{x}_{1}} \right)=30, f\left( {{x}_{2}} \right)=35, f\left( {{x}_{3}} \right)=3$.
Do $y={f}'\left( x \right)$ là hàm số bậc 3 nên phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ chỉ có 3 nghiệm ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}, {{x}_{3}}$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của ${f}'\left( x \right)$ và ${g}'\left( x \right)$ ta có:
${f}'\left( x \right)={g}'\left( x \right)\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{f}'\left( x \right)=0 \\
f\left( x \right)=1 \left( \text{VN} \right) \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
& x={{x}_{3}} \\
\end{aligned} \right.$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y={f}'\left( x \right)$ và $y={g}'\left( x \right)$ là:
$S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{\left| {g}'\left( x \right)-{f}'\left( x \right) \right|\text{d}x}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{\left| \dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}-{f}'\left( x \right) \right|\text{d}x}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{\left| {f}'\left( x \right).\left( \dfrac{1}{f\left( x \right)}-1 \right) \right|\text{d}x}$
$=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| {f}'\left( x \right).\left( \dfrac{1}{f\left( x \right)}-1 \right) \right|\text{d}x}+\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{\left| {f}'\left( x \right).\left( \dfrac{1}{f\left( x \right)}-1 \right) \right|\text{d}x}$
Tính ${{I}_{1}}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| {f}'\left( x \right).\left( \dfrac{1}{f\left( x \right)}-1 \right) \right|\text{d}x}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{{f}'\left( x \right).\left( 1-\dfrac{1}{f\left( x \right)} \right)\text{d}x}$ (do ${f}'\left( x \right)\ge 0, \forall x\in \left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right)$ )
Đặt $t=f\left( x \right)\Rightarrow \text{d}t={f}'\left( x \right)\text{d}x$.
Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}}\Rightarrow t=f\left( {{x}_{1}} \right)=30 \\
& x={{x}_{2}}\Rightarrow t=f\left( {{x}_{2}} \right)=35 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra ${{I}_{1}}=\int\limits_{30}^{35}{\left( 1-\dfrac{1}{t} \right)\text{d}t}=\left. \left( t-\ln \left| t \right| \right) \right|_{30}^{35}=35-\ln 35-30+\ln 30=5+\ln \dfrac{6}{7}$.
Tính ${{I}_{2}}=\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{\left| {f}'\left( x \right).\left( \dfrac{1}{f\left( x \right)}-1 \right) \right|\text{d}x}=-\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{{f}'\left( x \right).\left( 1-\dfrac{1}{f\left( x \right)} \right)\text{d}x}$ (do ${f}'\left( x \right)\le 0, \forall x\in \left( {{x}_{2}};{{x}_{3}} \right)$ ).
Đặt $t=f\left( x \right)\Rightarrow \text{d}t={f}'\left( x \right)\text{d}x$.
Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x={{x}_{2}}\Rightarrow t=f\left( {{x}_{2}} \right)=35 \\
& x={{x}_{3}}\Rightarrow t=f\left( {{x}_{3}} \right)=3 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra ${{I}_{2}}=-\int\limits_{35}^{3}{\left( 1-\dfrac{1}{t} \right)\text{d}t}=-\left. \left( t-\ln \left| t \right| \right) \right|_{35}^{3}=-\left( 3-\ln 3-35+\ln 35 \right)=32-\ln \dfrac{35}{3}$.
Vậy $S=5+\ln \dfrac{6}{7}+\left( 32-\ln \dfrac{35}{3} \right)=37+\ln \dfrac{18}{245}\approx 34,39\in \left( 33;35 \right)$.