Cho hàm số bậc bốn $y=f\left( x \right)$, biết hàm số $g\left( x...

Từ bảng biến thiên ta có $\sqrt{f\left( x \right)}\ge \sqrt{3}\Leftrightarrow f\left( x \right)\ge 3;\forall x\in \mathbb{R}$
Ta có $g'\left( x \right)=\dfrac{f'\left( x \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)}}$, ta xét phương trình
$f'\left( x \right)=g'\left( x \right)\Leftrightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{f'\left( x \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)=0 \\
& \sqrt{f\left( x \right)}=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Qua BBT ta thấy phương trình $\sqrt{f\left( x \right)}=\dfrac{1}{2}$ vô nghiệm,
Do đó $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
& x={{x}_{3}} \\
\end{aligned} \right.$
Ta lại có $f'\left( x \right)-g'\left( x \right)=f'\left( x \right)\left[ 1-\dfrac{1}{2\sqrt{f\left( x \right)}} \right]$ mà $1-\dfrac{1}{2\sqrt{f\left( x \right)}}>0;\forall x\in \mathbb{R}$ nên dấu của là dấu của ${f}'\left( x \right)$, ta có bảng xét dấu
Ta có diện tích cần tính là
$\begin{aligned}
& S=\int_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{3}}}{|f'\left( x \right)-g'\left( x \right)|dx}=\int_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{(f'\left( x \right)-g'\left( x \right))dx}-\int_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}}{(f'\left( x \right)-g'\left( x \right))dx} \\
& =(\left. f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}-(\left. f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{3}}} \\
& =2f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{3}} \right)-2g\left( {{x}_{2}} \right)+g\left( {{x}_{1}} \right)+g\left( {{x}_{3}} \right) \\
& =2.\dfrac{17}{3}-\dfrac{21}{4}-3-2\sqrt{\dfrac{17}{3}}+\dfrac{\sqrt{21}}{2}+\sqrt{3}\simeq 2,346 \\
\end{aligned}$