Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc bốn trùng phương $y=f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong như hình dưới đây. Biết hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực trị tại ba điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ $\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}} \right)$ thoả mãn ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4$. Gọi ${{S}_{1}}, {{S}_{2}}$ là diện tích của hai hình phẳng được tô màu trong hình. Tỉ số $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$ bằng?
A. $\dfrac{3}{5}$.
B. $\dfrac{7}{16}$.
C. $\dfrac{1}{2}$.
D. $\dfrac{7}{15}$.
A. $\dfrac{3}{5}$.
B. $\dfrac{7}{16}$.
C. $\dfrac{1}{2}$.
D. $\dfrac{7}{15}$.
Diện tích ${{S}_{1}},{{S}_{2}}$ không đổi khi ta tịnh tiến đồ thị thoả ${{x}_{2}}=0$
Gọi $g\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$, ta có $g\left( x \right)$ là hàm chẵn và ba điểm cực trị tương ứng là $-2;0;2$ là các nghiệm của phương trình $4a{{x}^{3}}+2bx=0$.
Dựa vào đồ thị $g\left( x \right)$, ta có $g\left( 0 \right)=0$. Từ đó suy ra $g(x)=a\left( {{x}^{4}}-16{{x}^{2}} \right)$ với $a>0$.
Do tính đối xứng của hàm trùng phương nên diện tích hình chữ nhật bằng
$2{{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\left| g\left( 2 \right) \right|.4=64a$
Ta có ${{S}_{1}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $g\left( x \right)$, trục hoành, đường thẳng $x=2, x=0$.
${{S}_{1}}=\int_{-2}^{0}{g}(x)\text{d}x=a\int_{-2}^{0}{\left| {{x}^{4}}-8{{x}^{2}} \right|}\text{d}x=\dfrac{224a}{15}$
Suy ra ${{S}_{2}}=64a-2\cdot \dfrac{224a}{15}=\dfrac{512a}{15}$.
Vậy $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{224}{512}=\dfrac{7}{16}$.
Gọi $g\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$, ta có $g\left( x \right)$ là hàm chẵn và ba điểm cực trị tương ứng là $-2;0;2$ là các nghiệm của phương trình $4a{{x}^{3}}+2bx=0$.
Dựa vào đồ thị $g\left( x \right)$, ta có $g\left( 0 \right)=0$. Từ đó suy ra $g(x)=a\left( {{x}^{4}}-16{{x}^{2}} \right)$ với $a>0$.
Do tính đối xứng của hàm trùng phương nên diện tích hình chữ nhật bằng
$2{{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\left| g\left( 2 \right) \right|.4=64a$
Ta có ${{S}_{1}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $g\left( x \right)$, trục hoành, đường thẳng $x=2, x=0$.
${{S}_{1}}=\int_{-2}^{0}{g}(x)\text{d}x=a\int_{-2}^{0}{\left| {{x}^{4}}-8{{x}^{2}} \right|}\text{d}x=\dfrac{224a}{15}$
Suy ra ${{S}_{2}}=64a-2\cdot \dfrac{224a}{15}=\dfrac{512a}{15}$.
Vậy $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{224}{512}=\dfrac{7}{16}$.
Đáp án B.