Cho hàm số bậc bốn $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f\left( 0 \right)=\dfrac{1}{8}$ và đồ thị $y=f'\left( x \right)$ (như hình vẽ bên dưới). Xét...

Ta có: $g''\left( x \right)=2021{{\left[ f'\left( x \right)f\left( x \right) \right]}^{\prime }}-f''\left( x \right)={{\left[ 2021f'\left( x \right)f\left( x \right)-f'\left( x \right) \right]}^{\prime }}.\left( 1 \right)$
Lấy nguyên hàm hai vế của $\left( 1 \right)$ ta được:
$\int\limits_{{}}^{{}}{g''\left( x \right)dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{{{\left[ 2021f'\left( x \right)f\left( x \right)-f'\left( x \right) \right]}^{\prime }}dx}$
$\Rightarrow g'\left( x \right)=2021f'\left( x \right)f\left( x \right)-f'\left( x \right)+C.\left( 2 \right)$
Từ đồ thị ta có: $f'\left( 0 \right)=1.$
Thay $x=0$ vào $\left( 2 \right)$ ta được:
$g'\left( 0 \right)=2021.f'\left( 0 \right).f\left( 0 \right)-f'\left( 0 \right)+C\Leftrightarrow \dfrac{2013}{8}=2021.1.\dfrac{1}{8}-1+C\Leftrightarrow C=0.$
Từ đó suy ra: $g'\left( x \right)=2021.f'\left( x \right).\left[ f\left( x \right)-\dfrac{1}{2021} \right].$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)=0\text{ }\left( 3 \right) \\
& f\left( x \right)=\dfrac{1}{2021}\left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right..$
* Giải phương trình $\left( 3 \right):$
Đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ cắt trục $Ox$ tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là $x=a,x=b,x=c$ với $-2<a<-1,0<b<1,1<c<2.$
Ta có: $\left( 3 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=a \\
& x=b \\
& x=c \\
\end{aligned} \right..$
* Giải phương trình $\left( 4 \right):$
- Do $y=f\left( x \right)$ là hàm số bậc bốn nên $y=f'\left( x \right)$ là hàm số bậc 3, giả sử $f'\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d.$ Từ đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ suy ra:
$\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( 0 \right)=1 \\
& f'\left( -1 \right)=3 \\
& f'\left( 1 \right)=-1 \\
& f''\left( -1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& d=1 \\
& -a+b-c+1=3 \\
& a+b+c+1=-1 \\
& 3a-2b+c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=0 \\
& c=-3 \\
& d=1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow f'\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+1$
$\Rightarrow \int\limits_{{}}^{{}}{f'\left( x \right)dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\left( {{x}^{3}}-3x+1 \right)dx}$
$\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+x+C'\left( 5 \right).$
Thay $x=0$ vào $\left( 5 \right)$ ta được: $f\left( 0 \right)=C'\Leftrightarrow C'=\dfrac{1}{8}\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+x+\dfrac{1}{8}.$
Dễ thấy $f\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{8}.$
Bảng biến thiến:

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình $f\left( x \right)=\dfrac{1}{2021}$ có 4 nghiệm phân biệt khác $a,b,c.$
Vậy phương trình $g'\left( x \right)=0$ có 7 nghiệm phân biệt.