Cho hàm số bậc bốn $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau...

Ta chọn hàm $f\left( x \right)=5{{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+3$.
Đạo hàm
${g}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}{{\left[ f\left( x+1 \right) \right]}^{2}}+2{{x}^{4}}f\left( x+1 \right){f}'\left( x+1 \right)=2{{x}^{3}}f\left( x+1 \right)\left[ 2f\left( x+1 \right)+x{f}'\left( x+1 \right) \right]$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2{{x}^{3}}f\left( x+1 \right)=0 \\
& 2f\left( x+1 \right)+x{f}'\left( x+1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& f\left( x+1 \right)=0 \\
& 2f\left( x+1 \right)+x{f}'\left( x+1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$.
$f\left( x+1 \right)=0$ $\left( * \right)$ $\Leftrightarrow $ $5{{\left( x+1 \right)}^{4}}-10\left( x+1 \right)+3=0$ $\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& x+1\approx 1,278 \\
& x+1\approx 0,606 \\
& x+1\approx -0,606 \\
& x+1\approx -1,278 \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác $0$.
$2f\left( x+1 \right)+x{f}'\left( x+1 \right)=0\overset{t=x+1}{\mathop{\Rightarrow }} 2\left( 5{{t}^{4}}-10{{t}^{2}}+3 \right)+\left( t-1 \right)\left( 20{{t}^{3}}-20t \right)=0$
$\Leftrightarrow 30{{t}^{4}}-20{{t}^{3}}-40{{t}^{2}}+20t+6=0$ $\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& t\approx 1,199 \\
& t\approx 0,731 \\
& t\approx -0,218 \\
& t\approx -1,045 \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác $0$ và khác các nghiệm của phương trình $\left( * \right)$.
Vậy số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)$ là $9$.