Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc bốn $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\left( a,b,c,d,e\in \mathbb{R} \right),$ biết $f\left( \dfrac{1}{2} \right)=-1$ và đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ hình vẽ. Hàm số $g\left( x \right)=\left| 2f\left( x \right)-{{x}^{2}}+2x \right|$ đồng biến trên khoảng
A. $\left( 2;+\infty \right).$
B. $\left( -1;1 \right).$
C. $\left( 1;2 \right)$
D. $\left( -\infty ;-1 \right).$
Ta có $f'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+3b{{x}^{2}}+2cx+d;f''\left( x \right)=12a{{x}^{2}}+6bx+2c.$ Theo giả thiết ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( 0 \right)=1 \\
& f''\left( 0 \right)=0 \\
& f'\left( 2 \right)=1 \\
& f'\left( 1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& d=1 \\
& c=0 \\
& a=\dfrac{1}{4} \\
& b=\dfrac{-2}{3} \\
\end{aligned} \right.. $ Suy ra $ f'\left( x \right)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+1;f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{2{{x}^{3}}}{3}+x-\dfrac{275}{192}.$
Xét hàm số $h\left( x \right)=2f\left( x \right)-{{x}^{2}}+2x$ ta có $h'\left( x \right)=2f'\left( x \right)-2x+2\Rightarrow h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=2 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right..$
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 1;2 \right).$
A. $\left( 2;+\infty \right).$
B. $\left( -1;1 \right).$
C. $\left( 1;2 \right)$
D. $\left( -\infty ;-1 \right).$
Ta có $f'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+3b{{x}^{2}}+2cx+d;f''\left( x \right)=12a{{x}^{2}}+6bx+2c.$ Theo giả thiết ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( 0 \right)=1 \\
& f''\left( 0 \right)=0 \\
& f'\left( 2 \right)=1 \\
& f'\left( 1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& d=1 \\
& c=0 \\
& a=\dfrac{1}{4} \\
& b=\dfrac{-2}{3} \\
\end{aligned} \right.. $ Suy ra $ f'\left( x \right)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+1;f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{2{{x}^{3}}}{3}+x-\dfrac{275}{192}.$
Xét hàm số $h\left( x \right)=2f\left( x \right)-{{x}^{2}}+2x$ ta có $h'\left( x \right)=2f'\left( x \right)-2x+2\Rightarrow h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=2 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right..$
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 1;2 \right).$
Đáp án C.