Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -5; 5 \right]$ sao cho phương trình $\log _{2}^{3}\left(f(x)+1 \right)-\log _{\sqrt{2}}^{2}\left(f(x)+1 \right)+(2m-8){{\log }_{\frac{1}{2}}}\sqrt{f(x)+1}+2m=0$ có nghiệm $x\in $ $\left( -1 ; 1 \right)$.
A. 7.
B. $5.$
C. $6.$
D. vô số.
A. 7.
B. $5.$
C. $6.$
D. vô số.
Ta có với $x\in \left( -1 ; 1 \right)\Rightarrow f\left( x \right)\in \left( -1 ; 3 \right)\Rightarrow f\left( x \right)+1\in \left( 0 ; 4 \right)$
Do đó: ${{\log }^{3}}_{2}\left( f\left( x \right)+1 \right)-{{\log }^{2}}_{\sqrt{2}}\left( f\left( x \right)+1 \right)+\left( 2m-8 \right){{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( \sqrt{f\left( x \right)+1} \right)+2m=0 \left( 1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }^{3}}_{2}\left( f\left( x \right)+1 \right)-4{{\log }^{2}}_{2}\left( f\left( x \right)+1 \right)-\left( m-4 \right){{\log }_{2}}\left( f\left( x \right)+1 \right)+2m=0$
Đặt ${{\log }_{2}}\left( f\left( x \right)+1 \right)=t\Rightarrow t<2$
Phương trình trở thành: ${{t}^{3}}-4{{t}^{2}}-\left( m-4 \right)t+2m=0$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{t}^{3}}-4{{t}^{2}}+4t=mt-2m \\
& \Leftrightarrow t{{\left( t-2 \right)}^{2}}=m\left( t-2 \right) \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow t(t-2)=m \left( 2 \right)$ (Vì $t<2\Rightarrow t-2\ne 0$ )
Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm $x\in \left( -1 ; 1 \right)$ khi và chỉ khi phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm với $t\in \left( -\infty ; 2 \right)$
Xét $g\left( t \right)={{t}^{2}}-2t,t\in \left( -\infty ; 2 \right); g'\left( t \right)=2t-2$
$ g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow 2t-2=0\Leftrightarrow t=1$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi $m\ge -1$, do $m\in \left[ -5;5 \right]$ và $m$ nguyên nên
$m\in \left\{ -1 ; 0 ; 1 ; 2 ;3 ; 4 ; 5 \right\}$. Do đó có $7$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn đề bài.
Do đó: ${{\log }^{3}}_{2}\left( f\left( x \right)+1 \right)-{{\log }^{2}}_{\sqrt{2}}\left( f\left( x \right)+1 \right)+\left( 2m-8 \right){{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( \sqrt{f\left( x \right)+1} \right)+2m=0 \left( 1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }^{3}}_{2}\left( f\left( x \right)+1 \right)-4{{\log }^{2}}_{2}\left( f\left( x \right)+1 \right)-\left( m-4 \right){{\log }_{2}}\left( f\left( x \right)+1 \right)+2m=0$
Đặt ${{\log }_{2}}\left( f\left( x \right)+1 \right)=t\Rightarrow t<2$
Phương trình trở thành: ${{t}^{3}}-4{{t}^{2}}-\left( m-4 \right)t+2m=0$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{t}^{3}}-4{{t}^{2}}+4t=mt-2m \\
& \Leftrightarrow t{{\left( t-2 \right)}^{2}}=m\left( t-2 \right) \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow t(t-2)=m \left( 2 \right)$ (Vì $t<2\Rightarrow t-2\ne 0$ )
Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm $x\in \left( -1 ; 1 \right)$ khi và chỉ khi phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm với $t\in \left( -\infty ; 2 \right)$
Xét $g\left( t \right)={{t}^{2}}-2t,t\in \left( -\infty ; 2 \right); g'\left( t \right)=2t-2$
$ g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow 2t-2=0\Leftrightarrow t=1$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi $m\ge -1$, do $m\in \left[ -5;5 \right]$ và $m$ nguyên nên
$m\in \left\{ -1 ; 0 ; 1 ; 2 ;3 ; 4 ; 5 \right\}$. Do đó có $7$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn đề bài.
Đáp án A.