Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên...

$f\left( {{x}^{3}}f(x) \right)+1=0\Leftrightarrow f\left( {{x}^{3}}f(x) \right)=-1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}f(x)=0 \\
& {{x}^{3}}f(x)=a>0 \\
& {{x}^{3}}f(x)=b>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& f(x)=0 \\
& f(x)=\dfrac{a}{{{x}^{3}}} (\text{do} x\ne 0) \\
& f(x)=\dfrac{b}{{{x}^{3}}}(\text{do} x\ne 0) \\
\end{aligned} \right.$
$f(x)=0$ có một nghiệm dương $x=c$. Xét phương trình $f(x)=\dfrac{k}{{{x}^{3}}}$ với $x\ne 0, k>0$.
Đặt $g(x)=f(x)-\dfrac{k}{{{x}^{3}}}$ có ${g}'(x)=f'(x)+\dfrac{3k}{{{x}^{4}}}$.
Với $x>c$, nhìn hình ta ta thấy ${f}'(x)>0$ $\Rightarrow {g}'(x)={f}'(x)+\dfrac{3k}{{{x}^{4}}}>0$
$\Rightarrow g(x)=0$ có tối đa một nghiệm.
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& g(c)<0 \\
& \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} g(x)=+\infty \\
\end{aligned} \right. $ và $ g(x) $ liên tục trên $ \left( c;+\infty \right)$
$\Rightarrow $ $g(x)=0$ có duy nhất nghiệm trên $\left( c;+\infty \right)$.
Với $0<x<c$ thì $f(x)<0<\dfrac{k}{{{x}^{3}}}$ $\Rightarrow $ $g(x)=0$ vô nghiệm.
Với $x<0$, nhìn hình ta ta thấy ${f}'(x)>0$ $\Rightarrow {g}'(x)={f}'(x)+\dfrac{3k}{{{x}^{4}}}>0$
$\Rightarrow g(x)=0$ có tối đa một nghiệm.
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} g(x)>0 \\
& \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} g(x)=-\infty \\
\end{aligned} \right. $ và $ g(x) $ liên tục trên $ \left( -\infty ;0 \right)$.
$\Rightarrow $ $g(x)=0$ có duy nhất nghiệm trên $\left( -\infty ;0 \right)$.
Tóm lại $g(x)=0$ có đúng hai nghiệm trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.
Suy ra hai phương trình $f(x)=\dfrac{a}{{{x}^{3}}}$, $f(x)=\dfrac{b}{{{x}^{3}}}$ có 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác $c$.
Vậy phương trình $f\left( {{x}^{3}}f(x) \right)+1=0$ có đúng 6 nghiệm.