Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới $f(1)=0$ ; ${{f}'}'\left( \dfrac{2}{3} \right)=0$ và $f\left( \dfrac{2}{3} \right)=\dfrac{20}{27}$. Biết hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại hai điểm ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ thỏa mãn $3{{x}_{2}}-6{{x}_{1}}=3\sqrt{7}-2$. Gọi ${{S}_{1}}$ và ${{S}_{2}}$ là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên dưới. Tỉ số $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $(7,1; 7,3).$
B. $(6,5; 6,7).$
C. $(6,7; 6,9).$
D. $(6,9; 7,1).$
A. $(7,1; 7,3).$
B. $(6,5; 6,7).$
C. $(6,7; 6,9).$
D. $(6,9; 7,1).$
Vì $y=f\left( x \right)$ là hàm số bậc ba có $f''\left( \dfrac{2}{3} \right)=0\Rightarrow x=\dfrac{2}{3}$ là hoành độ điểm uốn, do đó: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2{{x}_{u}}=\dfrac{4}{3}$
Mặt khác $3{{x}_{2}}-6{{x}_{1}}=3\sqrt{7}-2$ hay $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{4}{3} \\
& 3{{x}_{2}}-6{{x}_{1}}=3\sqrt{7}-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=\dfrac{2-\sqrt{7}}{3} \\
& {{x}_{2}}=\dfrac{2+\sqrt{7}}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $f'\left( x \right)=k\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)=k\left( {{x}^{2}}-\dfrac{4}{3}x-\dfrac{1}{3} \right),$ với $k>0$
$\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{k}{3}\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+C \right),$ thay $f\left( 1 \right)=0$ ta được $C=2\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{k}{3}\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2 \right).$
Khi đó ${{S}_{1}}=\dfrac{k}{3}\int\limits_{\dfrac{2-\sqrt{7}}{3}}^{1}{\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2 \right)dx};{{S}_{2}}=-\dfrac{k}{3}\int\limits_{1}^{\dfrac{2+\sqrt{7}}{3}}{\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2 \right)dx}$. Do đó
$\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{\int\limits_{\dfrac{2-\sqrt{7}}{3}}^{1}{\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2 \right)dx}}{\int\limits_{1}^{\dfrac{2+\sqrt{7}}{3}}{\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2 \right)dx}}\approx 6,85\in \left( 6,7;6,9 \right)$.
Mặt khác $3{{x}_{2}}-6{{x}_{1}}=3\sqrt{7}-2$ hay $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{4}{3} \\
& 3{{x}_{2}}-6{{x}_{1}}=3\sqrt{7}-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=\dfrac{2-\sqrt{7}}{3} \\
& {{x}_{2}}=\dfrac{2+\sqrt{7}}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $f'\left( x \right)=k\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)=k\left( {{x}^{2}}-\dfrac{4}{3}x-\dfrac{1}{3} \right),$ với $k>0$
$\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{k}{3}\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+C \right),$ thay $f\left( 1 \right)=0$ ta được $C=2\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{k}{3}\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2 \right).$
Khi đó ${{S}_{1}}=\dfrac{k}{3}\int\limits_{\dfrac{2-\sqrt{7}}{3}}^{1}{\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2 \right)dx};{{S}_{2}}=-\dfrac{k}{3}\int\limits_{1}^{\dfrac{2+\sqrt{7}}{3}}{\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2 \right)dx}$. Do đó
$\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{\int\limits_{\dfrac{2-\sqrt{7}}{3}}^{1}{\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2 \right)dx}}{\int\limits_{1}^{\dfrac{2+\sqrt{7}}{3}}{\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2 \right)dx}}\approx 6,85\in \left( 6,7;6,9 \right)$.
Đáp án C.