Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong hình bên. Biết...

Đặt $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$.
Theo bài ra $f(x)+1$ và $f(x)-1$ lần lượt chia hết cho ${(x-1)}^2$ và ${(x+1)}^2$ nên ta có thể phân tích thành nhân tử như sau:
$\{\begin{array}{rl}& f(x)+1=a{(x-1)}^2(x-m)\\ & f(x)-1=a{(x+1)}^2(x-n)\end{array}$
Kết hợp với bài ra ta có :
$\{\begin{array}{rl}& f(1)+1=0\\ & f(-1)-1=0\\ & f(0)=0\\ & f^{\prime }(1)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& a+b+c+d+1=0\\ & -a+b-c+d-1=0\\ & d=0\\ & 3a+2b+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& a={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & b=0\\ & c=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ & d=0\end{array}$
Do đó : $f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}x$.
Ta có $f(x)=0\iff {\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}x=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=\pm \sqrt{3}\end{array}$.
$S_1$ là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị $y=f(x);y=-1;x=0;x=1$
Nên $S_1=\underset{0}{\overset{1}{\int }}({\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+1)dx={\displaystyle \frac{3}{8}}$.
$S_2$ là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị $y=f(x);y=0;x=1;x=\sqrt{3}$
Nên $S_2=\underset{1}{\overset{\sqrt{3}}{\int }}(-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3+{\displaystyle \frac{3}{2}}x)dx={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
Vậy $S_1+S_2={\displaystyle \frac{3}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{7}{8}}$ (đvdt).