Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong hình bên. Biết...

Đặt $f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$.
Theo bài ra $f(x)+1$ và $f(x)-1$ lần lượt chia hết cho ${{(x-1)}^{2}}$ và ${{(x+1)}^{2}}$ nên ta có thể phân tích thành nhân tử như sau:
$\left\{ \begin{aligned}
& f(x)+1=a{{(x-1)}^{2}}(x-m) \\
& f(x)-1=a{{(x+1)}^{2}}(x-n) \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp với bài ra ta có :
$\left\{ \begin{aligned}
& f(1)+1=0 \\
& f(-1)-1=0 \\
& f(0)=0 \\
& f'(1)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+b+c+d+1=0 \\
& -a+b-c+d-1=0 \\
& d=0 \\
& 3a+2b+c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{2} \\
& b=0 \\
& c=-\dfrac{3}{2} \\
& d=0 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó : $f(x)=\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}x$.
Ta có $f(x)=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm \sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$.
${{S}_{1}}$ là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị $y=f(x);y=-1;x=0;x=1$
Nên ${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}x+1 \right)}dx=\dfrac{3}{8}$.
${{S}_{2}}$ là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị $y=f(x);y=0;x=1;x=\sqrt{3}$
Nên ${{S}_{2}}=\int\limits_{1}^{\sqrt{3}}{\left( -\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}+\dfrac{3}{2}x \right)}dx=\dfrac{1}{2}$.
Vậy ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{8}$ (đvdt).