Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ liên tục và có đồ thị như...

Ta có:
$\begin{aligned}
& \dfrac{4{{m}^{3}}+m}{\sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5}}={{f}^{2}}\left( x \right)+3\Leftrightarrow 4{{m}^{3}}+m=\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)+3 \right]\sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5} \\
& \Leftrightarrow 8{{m}^{3}}+2m=\left( 2{{f}^{2}}\left( x \right)+6 \right)\sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5} \\
& \Leftrightarrow 8{{m}^{3}}+2m=\left( {{\sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5}}^{3}} \right)+\sqrt{2{{f}^{2}}\left( x \right)+5}\left( * \right) \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t\Rightarrow f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0\left( \forall t\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Do đó $m=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& 4{{m}^{2}}=2{{f}^{2}}\left( x \right)+5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge \dfrac{\sqrt{5}}{2} \\
& f\left( x \right)=\pm \sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}} \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$
TH1: Với $m=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ thì phương trình đã cho $\Leftrightarrow f\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm
TH2: Với $m>\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ thì phương trình $f\left( x \right)=-\sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}}$ luôn có 1 nghiệm, như vậy để phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm thì phương trình $f\left( x \right)=\sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}}$ có 3 nghiệm phân biệt
Khi đó $0<\sqrt{\dfrac{4{{m}^{2}}-5}{2}}<4\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-5<32\Leftrightarrow -\sqrt{\dfrac{37}{4}}<m<\sqrt{\dfrac{37}{4}}$
Vậy $\dfrac{\sqrt{5}}{2}<m<\sqrt{\dfrac{37}{4}}$ là giá trị cần tìm. Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 2,3 \right\}$.