Cho hàm số bậc ba ${y = f\left( x \right)}$ có đồ thị như hình vẽ...

Ta có :
Ta có : $f\left( f\left( x \right) \right.-m=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}

& f\left( x \right)-m=1 \\

& f\left( x \right)-m=-2 \\

\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}

& f\left( x \right)=m+1 \\

& f\left( x \right)=m-2 \\

\end{aligned} \right.$

Để phương trình $f\left( f\left( x \right)-m \right)=1$ có 5 nghiệm phân biệt$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}

& \left\{ \begin{aligned}

& m+1=1 \\

& m-2\in \left( -3;1 \right) \\

\end{aligned} \right. \\

& \left\{ \begin{aligned}

& m+1=-3 \\

& m-2\in \left( -3;1 \right) \\

\end{aligned} \right. \\

& \left\{ \begin{aligned}

& m-2=1 \\

& m+1\in \left( -3;1 \right) \\

\end{aligned} \right. \\

& \left\{ \begin{aligned}

& m-2=-3 \\

& m+1\in \left( -3;1 \right) \\

\end{aligned} \right. \\

\end{aligned} \right.$

$\left[ \begin{aligned}

& \left\{ \begin{aligned}

& m=0 \\

& -1<m<3 \\

\end{aligned} \right. \\

& \left\{ \begin{aligned}

& m=-4 \\

& -1<m<3 \\

\end{aligned} \right. \\

& \left\{ \begin{aligned}

& m=3 \\

& -4<m<0 \\

\end{aligned} \right. \\

& \left\{ \begin{aligned}

& m=-1 \\

& -4<m<0 \\

\end{aligned} \right. \\

\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}

& m=0 \\

& m=-1 \\

\end{aligned} \right.$ Vậy số phần tử của S bằng 2