Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba ${y=f\left( x \right)}$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Tất cả các giá trị của tham số ${m}$ để hàm số ${y=\left| f\left( x \right)+m \right|}$ có ba điểm cực trị là
A. ${1\le m\le 3.}$
B. ${m\le -3}$ hoặc ${m\ge 1.}$
C. ${m\le -1}$ hoặc ${m\ge 3.}$
D. ${m=-1}$ hoặc ${m=3.}$
Tất cả các giá trị của tham số ${m}$ để hàm số ${y=\left| f\left( x \right)+m \right|}$ có ba điểm cực trị là
A. ${1\le m\le 3.}$
B. ${m\le -3}$ hoặc ${m\ge 1.}$
C. ${m\le -1}$ hoặc ${m\ge 3.}$
D. ${m=-1}$ hoặc ${m=3.}$
Ta có $y=\left| f\left( x \right)+m \right|=\sqrt{{{\left[ f\left( x \right)+m \right]}^{2}}}$
$$$y'=\dfrac{2\left[ f\left( x \right)+m \right].f'\left( x \right)}{2\sqrt{{{\left[ f\left( x \right)+m \right]}^{2}}}},y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)=-m \\
\end{aligned} \right.$
Vì $f'\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm đơn nên để hàm số có 3 cực trị thì $f\left( x \right)=-m$ có duy nhất 1 nghiệm đơn hoặc 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép, trong đó nghiệm đơn phải khác nghiệm đơn của phương trình $f'\left( x \right)=0$ Lúc này ta có :$\left[ \begin{aligned}
& -m\ge 1 \\
& -m\le -3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le -1 \\
& m\ge 3 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $m\le -1$ hoặc $m\ge 3.$
$$$y'=\dfrac{2\left[ f\left( x \right)+m \right].f'\left( x \right)}{2\sqrt{{{\left[ f\left( x \right)+m \right]}^{2}}}},y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)=-m \\
\end{aligned} \right.$
Vì $f'\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm đơn nên để hàm số có 3 cực trị thì $f\left( x \right)=-m$ có duy nhất 1 nghiệm đơn hoặc 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép, trong đó nghiệm đơn phải khác nghiệm đơn của phương trình $f'\left( x \right)=0$ Lúc này ta có :$\left[ \begin{aligned}
& -m\ge 1 \\
& -m\le -3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le -1 \\
& m\ge 3 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $m\le -1$ hoặc $m\ge 3.$
Đáp án C.