Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Tiếp tuyến $d$ của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( 4 ;-2 \right)$ cắt đồ thị hàm số tại điểm thứ hai $N\left( -1 ;1 \right)$. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến $d$ và $\left( C \right)$ bằng $\dfrac{125}{12}$. Tính $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}$.
A. $\dfrac{125}{36}$.
B. $\dfrac{14}{3}$.
C. $\dfrac{85}{12}$.
D. $\dfrac{94}{15}$.
B. $\dfrac{14}{3}$.
C. $\dfrac{85}{12}$.
D. $\dfrac{94}{15}$.
Đường thẳng $d$ có phương trình là $y=g\left( x \right)=\dfrac{-3}{5}x+\dfrac{2}{5}$.
Gọi $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d, \left( a\ne 0 \right)$
Theo bài ra ta có: $f\left( x \right)-g\left( x \right)=k.{{\left( x-4 \right)}^{2}}.\left( x+1 \right)$
Diện tích hình phẳng tạo bởi $d$ và $\left( C \right)$
$S=\int\limits_{-1}^{4}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]}\text{d}x=\int\limits_{-1}^{4}{k{{\left( x-4 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)}\text{d}x=\dfrac{625k}{12}$
Theo giả thiết: $\dfrac{625k}{12}=\dfrac{125}{12}\Leftrightarrow k=\dfrac{1}{5}$.
Khi đó:
$\begin{aligned}
& a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d-\left( \dfrac{-3}{5}x+\dfrac{2}{5} \right)=\dfrac{1}{5}{{\left( x-4 \right)}^{2}}\left( x+1 \right) \\
& \Leftrightarrow a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+\left( c+\dfrac{3}{5} \right)x+d-\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{5}{{x}^{3}}-\dfrac{7}{5}{{x}^{2}}+\dfrac{8}{5}x+\dfrac{16}{5} \\
\end{aligned}$
Đồng nhất hệ số: $a=\dfrac{1}{5}, b=\dfrac{-7}{5}, c=1, d=\dfrac{18}{5}$
Vậy $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{-1}^{1}{\left( \dfrac{1}{5}{{x}^{3}}-\dfrac{7}{5}{{x}^{2}}+x+\dfrac{18}{5} \right)\text{d}x}=\dfrac{94}{15}.$
Gọi $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d, \left( a\ne 0 \right)$
Theo bài ra ta có: $f\left( x \right)-g\left( x \right)=k.{{\left( x-4 \right)}^{2}}.\left( x+1 \right)$
Diện tích hình phẳng tạo bởi $d$ và $\left( C \right)$
$S=\int\limits_{-1}^{4}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]}\text{d}x=\int\limits_{-1}^{4}{k{{\left( x-4 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)}\text{d}x=\dfrac{625k}{12}$
Theo giả thiết: $\dfrac{625k}{12}=\dfrac{125}{12}\Leftrightarrow k=\dfrac{1}{5}$.
Khi đó:
$\begin{aligned}
& a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d-\left( \dfrac{-3}{5}x+\dfrac{2}{5} \right)=\dfrac{1}{5}{{\left( x-4 \right)}^{2}}\left( x+1 \right) \\
& \Leftrightarrow a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+\left( c+\dfrac{3}{5} \right)x+d-\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{5}{{x}^{3}}-\dfrac{7}{5}{{x}^{2}}+\dfrac{8}{5}x+\dfrac{16}{5} \\
\end{aligned}$
Đồng nhất hệ số: $a=\dfrac{1}{5}, b=\dfrac{-7}{5}, c=1, d=\dfrac{18}{5}$
Vậy $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{-1}^{1}{\left( \dfrac{1}{5}{{x}^{3}}-\dfrac{7}{5}{{x}^{2}}+x+\dfrac{18}{5} \right)\text{d}x}=\dfrac{94}{15}.$
Đáp án D.