Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ...

Đặt $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ theo giả thiết có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
f\left( x \right)+1=a{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+m \right) \\
f\left( x \right)-1=a{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x+n \right) \\
\end{array} \right.$
Do đó $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
f\left( 1 \right)+1=0 \\
f\left( -1 \right)-1=0 \\
f\left( 0 \right)=0 \\
{f}'\left( 1 \right)=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a+b+c+d+1=0 \\
-a+b-c+d-1=0 \\
d=0 \\
3a+2b+c=0 \\
\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=\dfrac{1}{2} \\
b=0 \\
c=-\dfrac{3}{2} \\
d=0 \\
\end{array} \right.\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}x \right.$
Ta có $f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
x=\pm \sqrt{3} \\
\end{array} \right.$
${{S}_{1}}$ là diện tích giới hạn bởi đồ thị $y=\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}x$, $y=-1$, $x=0,x=1$ $\Rightarrow {{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{\left| \dfrac{1}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}x+1 \right|=\dfrac{3}{8}}$ $\left( 1 \right)$

${{S}_{2}}$ là diện tích giới hạn bởi đồ thị $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{2}}-\dfrac{3}{2}x$, $y=0,x=1,x=\sqrt{3}$
$\Rightarrow {{S}_{2}}=\int\limits_{1}^{\sqrt{3}}{\left| \dfrac{1}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}x \right|=\dfrac{1}{2}}$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ $\Rightarrow 2{{S}_{2}}+8{{S}_{1}}=2.\dfrac{1}{2}+8.\dfrac{3}{8}=4$.