Cho hàm số bậc ba $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ. Gọi...

Đặt $t=4f\left(x\right)-7\Rightarrow \sqrt{f\left(t\right)-3t+3}=1-t$. Khi đó $\{\begin{array}{rl}& t\le 1\\ & f\left(t\right)=t^2+t-2\end{array}.$
Vẽ đồ thị hàm số $f\left(x\right)$ và $y=t^2+t-2$ trên hệ trục tọa độ.

Phương trình $f\left(t\right)-y=0$ có nghiệm $\iff [\begin{array}{rl}& t=1\\ & t=a(-3<a<-1)\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=2\\ & f\left(x\right)={\displaystyle \frac{a+7}{4}}\end{array}.$
Nhìn đồ thị, ta xét phương trình $f\left(x\right)=2$ có 2 nghiệm.
Vì $-3<a<-1\Rightarrow 1<{\displaystyle \frac{a+7}{4}}<{\displaystyle \frac{3}{2}}$ nên phương trình $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{a+7}{4}}$ có 3 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm hay $m=5$.