Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho phương trình ${{8}^{f\left( x...

Phương pháp:
- Đặt ẩn phụ $t={{2}^{f\left( x \right)-1}},$ tìm khoảng giá trị của $t.$
- Đưa bài toán về dạng $m=g\left( t \right)$ có nghiệm $t\in \left( a;b \right).$
- Lập BBT hàm số $g\left( t \right)$ trên $\left( a;b \right)$ và tìm điều kiện của $m$ để phương trình có nghiệm.
Cách giải:
Đặt $t={{2}^{f\left( x \right)-1}}.$
Với $x\in \left( -1;0 \right),$ dựa vào đồ thị ta thấy $f\left( x \right)\in \left( 0;2 \right)\Rightarrow f\left( x \right)-2\in \left( -2;0 \right)\Rightarrow t\in \left( \dfrac{1}{4};1 \right).$
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
${{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+\left( m+3 \right)t-4-2m=0$ có nghiệm $t\in \left( \dfrac{1}{4};1 \right)$
$\Leftrightarrow \left( t-1 \right)\left( {{t}^{2}}-2t+4+2m \right)=0$ có nghiệm $t\in \left( \dfrac{1}{4};1 \right)$
$\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t+4+2m=0$ có nghiệm $t\in \left( \dfrac{1}{4};1 \right)$
$\Leftrightarrow -\dfrac{{{t}^{2}}-2t+4}{2}=m\left( * \right)$ có nghiệm $t\in \left( \dfrac{1}{4};1 \right)$
Xét hàm số $g\left( t \right)=-\dfrac{{{t}^{2}}-2t+4}{2}$ với $t\in \left( \dfrac{1}{4};1 \right)$ ta có $g'\left( t \right)=-\dfrac{1}{2}\left( 2t-2 \right)=0\Leftrightarrow t=1.$
BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm $t\in \left( \dfrac{1}{4};1 \right)$ khi và chỉ khi $-\dfrac{57}{32}<m<-\dfrac{3}{2}.$
Kết hợp điều kiện $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn.