Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên.
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)-4=0$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -1; 2 \right]$ ?
A. 10.
B. 7.
C. 8.
D. 5.
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)-4=0$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -1; 2 \right]$ ?
A. 10.
B. 7.
C. 8.
D. 5.
+ Từ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ ta có:
$f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)-4=0$ $\Leftrightarrow f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)=4$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m=0 \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-m \left( 1 \right) \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=3-m \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
+ Xét hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ trên đoạn $\left[ -1; 2 \right]$.
* ${y}'=3{{x}^{2}}-6x$, ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\in \left[ -1; 2 \right] \\
& x=2\in \left[ -1; 2 \right] \\
\end{aligned} \right..$
* Bảng biến thiên
+ Phương trình $f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)-4=0$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -1; 2 \right]$ khi và chỉ khi phương trình $\left( 1 \right)$ hoặc phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -1; 2 \right]$.
Từ bảng biến thiên của hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ ta có:
* Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm $x\in \left[ -1; 2 \right]$ khi và chỉ khi $-4\le -m\le 0\Leftrightarrow 0\le m\le 4$ $\left( 3 \right)$.
* Phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm $x\in \left[ -1; 2 \right]$ khi và chỉ khi $-4\le 3-m\le 0\Leftrightarrow 3\le m\le 7$ $\left( 4 \right)$.
+ Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ suy ra phương trình $f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)-4=0$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -1; 2 \right]$ khi và chỉ khi $0\le m\le 7$, mặt khác $m$ nguyên nên có 8 giá trị $m$ thỏa mãn bài toán.
$f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)-4=0$ $\Leftrightarrow f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)=4$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m=0 \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-m \left( 1 \right) \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=3-m \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
+ Xét hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ trên đoạn $\left[ -1; 2 \right]$.
* ${y}'=3{{x}^{2}}-6x$, ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\in \left[ -1; 2 \right] \\
& x=2\in \left[ -1; 2 \right] \\
\end{aligned} \right..$
* Bảng biến thiên
+ Phương trình $f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)-4=0$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -1; 2 \right]$ khi và chỉ khi phương trình $\left( 1 \right)$ hoặc phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -1; 2 \right]$.
Từ bảng biến thiên của hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ ta có:
* Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm $x\in \left[ -1; 2 \right]$ khi và chỉ khi $-4\le -m\le 0\Leftrightarrow 0\le m\le 4$ $\left( 3 \right)$.
* Phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm $x\in \left[ -1; 2 \right]$ khi và chỉ khi $-4\le 3-m\le 0\Leftrightarrow 3\le m\le 7$ $\left( 4 \right)$.
+ Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ suy ra phương trình $f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)-4=0$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -1; 2 \right]$ khi và chỉ khi $0\le m\le 7$, mặt khác $m$ nguyên nên có 8 giá trị $m$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án C.