Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình $|f\left( {{x}^{3}}+2x \right)|=3$ là
A. $8$
B. $4$
C. $2$
D. $6$
Ta có:
$|f\left( {{x}^{3}}+2x \right)|=3\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( {{x}^{3}}+2x \right)=3 \\
& f\left( {{x}^{3}}+2x \right)=-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}+2x=a \left( -2<a<-1 \right) \left( 1 \right) \\
& {{x}^{3}}+2x=b \left( 3<a<4 \right) \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{3}}+2x$ trên $\mathbb{R}$.
Có $g'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2>0; \forall x\in \mathbb{R}$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra mỗi phương trình (1) và (2) có tối đa 1 nghiệm.
Vậy phương trình $|f\left( {{x}^{3}}+2x \right)|=3$ có 2 nghiệm thực.
B. $4$
C. $2$
D. $6$
$|f\left( {{x}^{3}}+2x \right)|=3\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( {{x}^{3}}+2x \right)=3 \\
& f\left( {{x}^{3}}+2x \right)=-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}+2x=a \left( -2<a<-1 \right) \left( 1 \right) \\
& {{x}^{3}}+2x=b \left( 3<a<4 \right) \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{3}}+2x$ trên $\mathbb{R}$.
Có $g'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2>0; \forall x\in \mathbb{R}$
Bảng biến thiên:
Vậy phương trình $|f\left( {{x}^{3}}+2x \right)|=3$ có 2 nghiệm thực.
Đáp án C.
