Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Tìm số giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\dfrac{f\left( x \right)}{f\left( x \right)+1}+\dfrac{f\left( x \right)+1}{f\left( x \right)+2}+\dfrac{f\left( x \right)+2}{f\left( x \right)+3}=\left| f\left( x \right)-2 \right|-f\left( x \right)+m$ có đúng 3 nghiệm âm và 1 nghiệm dương.
A. $5$.
B. $3$.
C. $7$.
D. Vô số.
A. $5$.
B. $3$.
C. $7$.
D. Vô số.
Đặt $t=f(x)$. Từ đồ thị $y=f\left( x \right)$ ta có:
Với mỗi $t<1$ ta có một $x$ âm, với mỗi $t>1$ ta có một $x$ dương.
Phương trình trở thành: $\dfrac{t}{t+1}+\dfrac{t+1}{t+2}+\dfrac{t+2}{t+3}=\left| t-2 \right|-t+m$
$\Leftrightarrow \dfrac{t}{t+1}+\dfrac{t+1}{t+2}+\dfrac{t+2}{t+3}+t-\left| t-2 \right|=m;(**)$
Xét $g(t)=\dfrac{t}{t+1}+\dfrac{t+1}{t+2}+\dfrac{t+2}{t+3}+t-\left| t-2 \right|$ ; TXĐ: $D=\left( -\infty ;-3 \right)\cup \left( -3;-2 \right)\cup \left( -2;-1 \right)\cup \left( -1;+\infty \right)$. Ta có: ${g}'(t)=\dfrac{1}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( t+3 \right)}^{2}}}+\dfrac{\left| t-2 \right|-t+2}{\left| t-2 \right|}>0,\forall t\in D$ và $t\ne 2$.
Ta có bảng biến thiên của $y=g(t)$ :
Ycbt $\Leftrightarrow $ Phương trình có đúng 3 nghiệm nhỏ hơn 1 và 1 nghiệm lớn hơn 1.
$\Leftrightarrow \dfrac{23}{12}<m<5$
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Với mỗi $t<1$ ta có một $x$ âm, với mỗi $t>1$ ta có một $x$ dương.
Phương trình trở thành: $\dfrac{t}{t+1}+\dfrac{t+1}{t+2}+\dfrac{t+2}{t+3}=\left| t-2 \right|-t+m$
$\Leftrightarrow \dfrac{t}{t+1}+\dfrac{t+1}{t+2}+\dfrac{t+2}{t+3}+t-\left| t-2 \right|=m;(**)$
Xét $g(t)=\dfrac{t}{t+1}+\dfrac{t+1}{t+2}+\dfrac{t+2}{t+3}+t-\left| t-2 \right|$ ; TXĐ: $D=\left( -\infty ;-3 \right)\cup \left( -3;-2 \right)\cup \left( -2;-1 \right)\cup \left( -1;+\infty \right)$. Ta có: ${g}'(t)=\dfrac{1}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( t+3 \right)}^{2}}}+\dfrac{\left| t-2 \right|-t+2}{\left| t-2 \right|}>0,\forall t\in D$ và $t\ne 2$.
Ta có bảng biến thiên của $y=g(t)$ :
$\Leftrightarrow \dfrac{23}{12}<m<5$
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Đáp án B.