Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu số tự nhiên $m\le 2018$ để hàm số $y=f\left( m-x \right)+\left( m-1 \right)x$ đồng biến trên khoảng $\left( -1;1 \right)$ ?
A. 2
B. 3
C. 1
D. 2018
A. 2
B. 3
C. 1
D. 2018
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy rằng $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x$
Khi đó ${y}'=-{f}'\left( m-x \right)+m-1=-3{{\left( m-x \right)}^{2}}+6\left( m-x \right)+m-1\ge 0;\forall x\in \left( -1;1 \right)$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6\left( m-1 \right)x+3{{m}^{2}}-7m+1\le 0;\forall x\in \left( -1;1 \right)\Leftrightarrow x\in \left[ {{x}_{2}};{{x}_{1}} \right]\Rightarrow $
Với ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm phương trình $3{{x}^{2}}-6\left( m-1 \right)x+3{{m}^{2}}-7m+1=0$
Ta có ${\Delta }'=3m+6\Rightarrow {{x}_{1}}=\dfrac{3m-3+\sqrt{3m+6}}{3};{{x}_{2}}=\dfrac{3m-3-\sqrt{3m+6}}{3}$ suy ra $m\ge -2$.
Khi đó ${y}'=-{f}'\left( m-x \right)+m-1=-3{{\left( m-x \right)}^{2}}+6\left( m-x \right)+m-1\ge 0;\forall x\in \left( -1;1 \right)$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6\left( m-1 \right)x+3{{m}^{2}}-7m+1\le 0;\forall x\in \left( -1;1 \right)\Leftrightarrow x\in \left[ {{x}_{2}};{{x}_{1}} \right]\Rightarrow $
Với ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm phương trình $3{{x}^{2}}-6\left( m-1 \right)x+3{{m}^{2}}-7m+1=0$
Ta có ${\Delta }'=3m+6\Rightarrow {{x}_{1}}=\dfrac{3m-3+\sqrt{3m+6}}{3};{{x}_{2}}=\dfrac{3m-3-\sqrt{3m+6}}{3}$ suy ra $m\ge -2$.
Đáp án D.