Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( C...

Dựa vào đồ thị, ta thấy $f\left( 0 \right)=2,{f}'\left( 0 \right)=0.$
Xét $\int\limits_{1}^{4}{x.{f}'\left( x-1 \right)dx=5.}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv={{f}'}'\left( x-1 \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v={f}'\left( x-1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $5=\int\limits_{1}^{4}{x.{{f}'}'\left( x-1 \right)}dx=x.{f}'\left( x-1 \right)\left| _{1}^{4} \right.-\int\limits_{1}^{4}{f'\left( x-1 \right)}dx=4{f}'\left( 3 \right)-{f}'\left( 0 \right)-f\left( 3 \right)+f\left( 0 \right).$
$\Rightarrow 4{f}'\left( 3 \right)-f\left( 3 \right)=3.$
Xét $\int\limits_{1}^{2}{2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-1 \right)dx}=-1.$
Đặt $t={{x}^{2}}-1\Rightarrow dt=2xdx.$ Đổi cận $x=1\Rightarrow t=0,x=2\Rightarrow t=3.$
Khi đó $-1=\int\limits_{1}^{2}{2x}.{f}'\left( {{x}^{2}}-1 \right)dx=\int\limits_{0}^{3}{{f}'\left( t \right)dt}=f\left( t \right)\left| _{0}^{3} \right.=f\left( 3 \right)-f\left( 0 \right)$
$\Rightarrow f\left( 3 \right)-f\left( 0 \right)=-1\Rightarrow f\left( 3 \right)=1.$ Như vậy $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 3 \right)=1 \\
& {f}'\left( 3 \right)=1. \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $M\left( 3.f\left( 3 \right) \right)\in \left( C \right)$ là tiếp điểm. Khi đó phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ có dạng $y={f}'\left( 3 \right)\left( x-3 \right)+f\left( 3 \right)=x-2.$