Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Biết hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực trị tại điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{2}}={{x}_{1}}+2$ và $f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=0.$ Gọi ${{S}_{1}}$ và ${{S}_{2}}$ là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tỉ số $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$ bằng
A. $\dfrac{3}{4}.$
B. $\dfrac{5}{8}.$
C. $\dfrac{3}{8}.$
D. $\dfrac{3}{5}.$
A. $\dfrac{3}{4}.$
B. $\dfrac{5}{8}.$
C. $\dfrac{3}{8}.$
D. $\dfrac{3}{5}.$
Cách giải:
Chọn ${{x}_{1}}=1\Rightarrow {{x}_{2}}=3,$ khi đó ta chọn $f'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)={{x}^{2}}-4x+3$
$\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x+c.$
Vì $f\left( x \right)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên chọn $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x-\dfrac{2}{3}.$
Xét phương trình hoành độ giao điểm $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x-\dfrac{2}{3}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2-\sqrt{3} \\
& x=2+\sqrt{3} \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{S}_{2}}=\int\limits_{1}^{2}{\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x-\dfrac{2}{3} \right)}dx=\dfrac{5}{12}.$
Với $x=1\Rightarrow f\left( 1 \right)=\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{S}_{HCN}}=\dfrac{2}{3}.1=\dfrac{2}{3}.$
$\Rightarrow {{S}_{1}}={{S}_{HCN}}-{{S}_{1}}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{12}=\dfrac{1}{4}.$
Vậy $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{23}{12}:\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{3}.$
Chọn ${{x}_{1}}=1\Rightarrow {{x}_{2}}=3,$ khi đó ta chọn $f'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)={{x}^{2}}-4x+3$
$\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x+c.$
Vì $f\left( x \right)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên chọn $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x-\dfrac{2}{3}.$
Xét phương trình hoành độ giao điểm $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x-\dfrac{2}{3}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2-\sqrt{3} \\
& x=2+\sqrt{3} \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{S}_{2}}=\int\limits_{1}^{2}{\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x-\dfrac{2}{3} \right)}dx=\dfrac{5}{12}.$
Với $x=1\Rightarrow f\left( 1 \right)=\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{S}_{HCN}}=\dfrac{2}{3}.1=\dfrac{2}{3}.$
$\Rightarrow {{S}_{1}}={{S}_{HCN}}-{{S}_{1}}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{12}=\dfrac{1}{4}.$
Vậy $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{23}{12}:\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{3}.$
Đáp án D.