Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới:
Biết hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực trị tại các điểm ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ sao cho ${{x}_{2}}-{{x}_{1}}=2$ và ${{f}'}'\left( 2 \right)=0$. Gọi ${{S}_{1}}$ và ${{S}_{2}}$ là hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tỉ số $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$ bằng
A. $\dfrac{1}{4}$.
B. $\dfrac{1}{3}$.
C. $\dfrac{2}{5}$.
D. $\dfrac{3}{8}$.
A. $\dfrac{1}{4}$.
B. $\dfrac{1}{3}$.
C. $\dfrac{2}{5}$.
D. $\dfrac{3}{8}$.
Đặt $f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d,(a>0) \Rightarrow f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+2 b x+c \Rightarrow f^{\prime \prime}(x)=6 a x+2 b$.
$f^{\prime \prime}(x)=0 \Leftrightarrow 6 a x+2 b=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-b}{3 a}$. Vì $f^{\prime \prime}(2)=0$ nên $\dfrac{-b}{3 a}=2 \Leftrightarrow b=-6 a$.
Mặt khác, theo định lý Vi-et thì $x_{1}+x_{2}=\dfrac{-2 b}{3 a}=4$, kết hợp với $x_{2}-x_{1}=2$ ta suy ra $x_{1}=1, x_{2}=3$
Do đó, $x_{1} \cdot x_{2}=\dfrac{c}{3 a}=3 \Leftrightarrow c=9 a$. Từ đó ta có $f(x)=a x^{3}-6 a x^{2}+9 a x+d$.
Từ đồ thị hàm số ta suy ra $f(2)=0 \Leftrightarrow 8 a-24 a+18 a+d=0 \Leftrightarrow d=-2 a$.
Suy ra $f(x)=a\left(x^{3}-6 x^{2}+9 x-2\right)$
Xét phương trình $f(x)=0 \Leftrightarrow x^{3}-6 x^{2}+9 x-2=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=2 \\ x=2-\sqrt{3}<2 \\ x=2+\sqrt{3}>2\end{array}\right.$
Từ đây ta tính được $S_{1}=-a \int_{0}^{2-\sqrt{3}}\left(x^{3}-6 x^{2}+9 x-2\right) d x=\dfrac{a}{4}, S_{2}=a \int_{2-\sqrt{3}}^{1}\left(x^{3}-6 x^{2}+9 x-2\right) d x=a$
Vậy $\dfrac{S_{1}}{S_{2}}=\dfrac{1}{4}$.
$f^{\prime \prime}(x)=0 \Leftrightarrow 6 a x+2 b=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-b}{3 a}$. Vì $f^{\prime \prime}(2)=0$ nên $\dfrac{-b}{3 a}=2 \Leftrightarrow b=-6 a$.
Mặt khác, theo định lý Vi-et thì $x_{1}+x_{2}=\dfrac{-2 b}{3 a}=4$, kết hợp với $x_{2}-x_{1}=2$ ta suy ra $x_{1}=1, x_{2}=3$
Do đó, $x_{1} \cdot x_{2}=\dfrac{c}{3 a}=3 \Leftrightarrow c=9 a$. Từ đó ta có $f(x)=a x^{3}-6 a x^{2}+9 a x+d$.
Từ đồ thị hàm số ta suy ra $f(2)=0 \Leftrightarrow 8 a-24 a+18 a+d=0 \Leftrightarrow d=-2 a$.
Suy ra $f(x)=a\left(x^{3}-6 x^{2}+9 x-2\right)$
Xét phương trình $f(x)=0 \Leftrightarrow x^{3}-6 x^{2}+9 x-2=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=2 \\ x=2-\sqrt{3}<2 \\ x=2+\sqrt{3}>2\end{array}\right.$
Từ đây ta tính được $S_{1}=-a \int_{0}^{2-\sqrt{3}}\left(x^{3}-6 x^{2}+9 x-2\right) d x=\dfrac{a}{4}, S_{2}=a \int_{2-\sqrt{3}}^{1}\left(x^{3}-6 x^{2}+9 x-2\right) d x=a$
Vậy $\dfrac{S_{1}}{S_{2}}=\dfrac{1}{4}$.
Đáp án A.