Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị được mô tả như hình vẽ bên. Có bao nhiêu số nguyên $m\in \left[ -10;10 \right]$ thoả mãn điều kiện phương trình $\left| {{\left( x-1 \right)}^{3}}f\left( x \right)+m \right|=3$ có một nghiệm duy nhất?
A. 1.
B. 0.
C. 10.
D. 11.
A. 1.
B. 0.
C. 10.
D. 11.
Ta có nếu $x=1$ là nghiệm thì $m=\pm 3$. Khi đó có ít nhất 2 trường hợp $x=1\vee f\left( x \right)=0$ và không thể có 1 nghiệm duy nhất.
Với $m\ne \pm 3$ thì $\left| {{\left( x-3 \right)}^{3}}f\left( x \right)+m \right|=3\Leftrightarrow f\left( x \right)=\dfrac{\pm 3-m}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}}$.
Ta nhận xét như sau: Hàm số $y=\dfrac{a}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}} \left( a\ne 0 \right)$ sẽ nhận các đường thẳng $x=1$ và $y=0$ là hai đường tiệm cận và lần lượt là có hình dạng như hình vẽ mô tả dưới đây trong các trường hợp $a>0$ và $a<0$.
Như vậy ta thấy:
+) Với mỗi $a>0$ thì hai đồ thị không có giao điểm chung.
+) Với mỗi $a<0$ ta có tối thiểu 2 giao điểm chung.
Mặt khác vì $m\in \mathbb{Z}$ nên điểm cắt trục tung $\left( 0;-a \right)$ có tung độ là số nguyên âm khi $a>0$ do đó không tồn tại trường hợp tiếp xúc. Vì vậy không có số nguyên m nào thỏa mãn điều kiện.
Với $m\ne \pm 3$ thì $\left| {{\left( x-3 \right)}^{3}}f\left( x \right)+m \right|=3\Leftrightarrow f\left( x \right)=\dfrac{\pm 3-m}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}}$.
Ta nhận xét như sau: Hàm số $y=\dfrac{a}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}} \left( a\ne 0 \right)$ sẽ nhận các đường thẳng $x=1$ và $y=0$ là hai đường tiệm cận và lần lượt là có hình dạng như hình vẽ mô tả dưới đây trong các trường hợp $a>0$ và $a<0$.
+) Với mỗi $a>0$ thì hai đồ thị không có giao điểm chung.
+) Với mỗi $a<0$ ta có tối thiểu 2 giao điểm chung.
Mặt khác vì $m\in \mathbb{Z}$ nên điểm cắt trục tung $\left( 0;-a \right)$ có tung độ là số nguyên âm khi $a>0$ do đó không tồn tại trường hợp tiếp xúc. Vì vậy không có số nguyên m nào thỏa mãn điều kiện.
Đáp án B.