Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị của hàm số $f'\left( x \right)$ như hình vẽ và $f\left( b \right)=1$. Số giá trị nguyên của $m\in \left[ -5;5 \right]$ để hàm số $g\left( x \right)=\left| {{f}^{2}}\left( x \right)+4f\left( x \right)+m \right|$ có đúng 5 điểm cực trị là:
A. 10
B. 9
C. 7
D. 8
A. 10
B. 9
C. 7
D. 8
Phương pháp:
Lập bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right).$
Cách giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên của $y=f\left( x \right)$ như sau:
Đặt $h\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+4f\left( x \right)$ ta có: $h'\left( x \right)=2f'\left( x \right).f\left( x \right)+4f'\left( x \right)$
$h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2f'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)+2 \right]=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=a \\
& x=b \\
\end{aligned} \right. \\
& f\left( x \right)=-2\Rightarrow x=c<a \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow $ Hàm số $y=h\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị $\Rightarrow $ Hàm số $y=h\left( x \right)+m$ cũng có 3 điểm cực trị.
Vì số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)=\left| h\left( x \right)+m \right|$ bằng tổng số điểm cực trị của hàm số $y=h\left( x \right)+m$ và số giao điểm của đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)+m$ với trục hoành (không tính tiếp xúc).
Nên để hàm số $g\left( x \right)=\left| h\left( x \right)+m \right|$ có 5 điểm cực trị thì phương trình $h\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt (không tính nghiệm kép).
Bảng biến thiên hàm số $h\left( x \right)$ như sau:
Hoặc
$h\left( b \right)={{g}^{2}}\left( b \right)+4f\left( b \right)=1+4=5,h\left( c \right)={{f}^{2}}\left( c \right)+4f\left( c \right),$ với $h\left( c \right)<1\Rightarrow h\left( c \right)\ge -4.$
Nếu $h\left( c \right)>5$ thì phương trình $h\left( x \right)=-m$ có 2 nghiệm phân biệt (không tính nghiệm kép)
$\Leftrightarrow 5<-m<h\left( c \right)\Leftrightarrow m<-5$ (không thỏa mãn $m\in \left[ -5;5 \right]).$
Nếu $h\left( c \right)\le 5$ thì phương trình $h\left( x \right)=-m$ có 2 nghiệm phân biệt (không tính nghiệm kép)
$\Leftrightarrow h\left( c \right)<-m\le 5\Leftrightarrow -5\le m\le -h\left( c \right)\le 4$ (thỏa mãn $m\in \left[ -5;5 \right]).$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4 \right\}.$
Vậy có 10 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lập bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right).$
Cách giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên của $y=f\left( x \right)$ như sau:
Đặt $h\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+4f\left( x \right)$ ta có: $h'\left( x \right)=2f'\left( x \right).f\left( x \right)+4f'\left( x \right)$
$h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2f'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)+2 \right]=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=a \\
& x=b \\
\end{aligned} \right. \\
& f\left( x \right)=-2\Rightarrow x=c<a \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow $ Hàm số $y=h\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị $\Rightarrow $ Hàm số $y=h\left( x \right)+m$ cũng có 3 điểm cực trị.
Vì số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)=\left| h\left( x \right)+m \right|$ bằng tổng số điểm cực trị của hàm số $y=h\left( x \right)+m$ và số giao điểm của đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)+m$ với trục hoành (không tính tiếp xúc).
Nên để hàm số $g\left( x \right)=\left| h\left( x \right)+m \right|$ có 5 điểm cực trị thì phương trình $h\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt (không tính nghiệm kép).
Bảng biến thiên hàm số $h\left( x \right)$ như sau:
Hoặc
$h\left( b \right)={{g}^{2}}\left( b \right)+4f\left( b \right)=1+4=5,h\left( c \right)={{f}^{2}}\left( c \right)+4f\left( c \right),$ với $h\left( c \right)<1\Rightarrow h\left( c \right)\ge -4.$
Nếu $h\left( c \right)>5$ thì phương trình $h\left( x \right)=-m$ có 2 nghiệm phân biệt (không tính nghiệm kép)
$\Leftrightarrow 5<-m<h\left( c \right)\Leftrightarrow m<-5$ (không thỏa mãn $m\in \left[ -5;5 \right]).$
Nếu $h\left( c \right)\le 5$ thì phương trình $h\left( x \right)=-m$ có 2 nghiệm phân biệt (không tính nghiệm kép)
$\Leftrightarrow h\left( c \right)<-m\le 5\Leftrightarrow -5\le m\le -h\left( c \right)\le 4$ (thỏa mãn $m\in \left[ -5;5 \right]).$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4 \right\}.$
Vậy có 10 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.