Cho hàm số bậc ba $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như...

Ta có $15-2x-x^2\ge 0\iff -5\le x\le 3$.
Phương trình $\sqrt{15-2x-x^2}.\sin [\pi .f\left(x\right)]=0\iff [\begin{array}{rl}& 15-2x-x^2=0\left(1\right)\\ & \sin \left[\pi f\left(x\right)\right]=0.\left(2\right)\end{array}$
$\left(1\right)\iff [\begin{array}{rl}& x=3\\ & x=-5.\end{array}$
$\left(2\right)\iff f\left(x\right)=k$, với $k$ nguyên.
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số $f\left(x\right)=x^3+3x^2-2$.
Lập bảng biến thiên của hàm số $f\left(x\right)=x^3+3x^2-2$, trên khoảng $(-5;3)$ ta có:
Với mỗi số nguyên $k$ thỏa mãn $-52<k<-2$ hoặc $2<k<52$ thì phương trình $f\left(x\right)=k$ có một nghiệm. Do đó $f\left(x\right)=k$ có tối đa $98$ nghiệm.
Với mỗi số nguyên $k$ thỏa mãn $k=-2$ hoặc $k=2$ thì phương trình $f\left(x\right)=k$ có hai nghiệm. Do đó $f\left(x\right)=k$ có tối đa $4$ nghiệm.
Với mỗi số nguyên $k$ thỏa mãn $-2<k<2$ thì phương trình $f\left(x\right)=k$ có ba nghiệm. Do đó $f\left(x\right)=k$ có tối đa $9$ nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có tối đa $2+98+4+9=113$ nghiệm.