Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như...

Ta có $15-2x-{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow -5\le x\le 3$.
Phương trình $\sqrt{15-2x-{{x}^{2}}}.\sin \left[ \pi .f\left( x \right) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 15-2x-{{x}^{2}}=0\left( 1 \right) \\
& \sin \left[ \pi f\left( x \right) \right]=0.\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& x=-5. \\
\end{aligned} \right.$
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=k$, với $k$ nguyên.
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2$.
Lập bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2$, trên khoảng $\left( -5;3 \right)$ ta có:
Với mỗi số nguyên $k$ thỏa mãn $-52<k<-2$ hoặc $2<k<52$ thì phương trình $f\left( x \right)=k$ có một nghiệm. Do đó $f\left( x \right)=k$ có tối đa $98$ nghiệm.
Với mỗi số nguyên $k$ thỏa mãn $k=-2$ hoặc $k=2$ thì phương trình $f\left( x \right)=k$ có hai nghiệm. Do đó $f\left( x \right)=k$ có tối đa $4$ nghiệm.
Với mỗi số nguyên $k$ thỏa mãn $-2<k<2$ thì phương trình $f\left( x \right)=k$ có ba nghiệm. Do đó $f\left( x \right)=k$ có tối đa $9$ nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có tối đa $2+98+4+9=113$ nghiệm.