Cho hàm số bậc ba $y=f\left(x\right)$. Biết rằng hàm số...

Do hàm số $y=f\left(x\right)$ là hàm bậc ba nên hàm số $y=f^{\prime }(1-x^2)$ phải là hàm bậc bốn. Vì hàm số này có đồ thị đối xứng qua $Oy$ nên hàm số $y=f^{\prime }(1-x^2)$ phải là hàm trùng phương.
Đặt $h\left(x\right)=f^{\prime }(1-x^2)=a{x}^4+b{x}^2+c(a>0)$. Ta có $h^{\prime }\left(x\right)=4a{x}^3+2bx$.
Do đồ thị $y=h\left(x\right)$ có điểm cực trị $A(2;-1)$ và đi qua điểm $B(1;1)$ nên ta có:
$\{\begin{array}{rl}& h^{\prime }\left(2\right)=0\\ & h\left(2\right)=-1\\ & h\left(1\right)=1\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& 32a+4b=0\\ & 16a+4b+c=-1\\ & a+b+c=1\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& a={\displaystyle \frac{2}{9}}\\ & b=-{\displaystyle \frac{16}{9}}\\ & c={\displaystyle \frac{23}{9}}\end{array}$. Suy ra $h\left(x\right)=f^{\prime }(1-x^2)={\displaystyle \frac{2}{9}}{x}^4-{\displaystyle \frac{16}{9}}{x}^2+{\displaystyle \frac{23}{9}}$.
Ta có $g\left(x\right)=f(1-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})+{\displaystyle \frac{2}{x}},(x\ne 0)$ có $g^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x^3}}{f}^{\prime }(1-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}={\displaystyle \frac{2}{x^2}}({\displaystyle \frac{1}{x}}{f}^{\prime }(1-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})-1)$.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $y=g^{\prime }\left(x\right)$ và $Ox$ là:
$g^{\prime }\left(x\right)=0\iff {\displaystyle \frac{1}{x}}{f}^{\prime }(1-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})=1$.
Đặt $t={\displaystyle \frac{1}{x}}$ ta được phương trình $t{f}^{\prime }(1-t^2)=1\Rightarrow f^{\prime }(1-x^2)={\displaystyle \frac{1}{x}}(\mathrm{\forall }x\ne 0)$.
Xét phương trình: $f^{\prime }(1-x^2)={\displaystyle \frac{1}{x}}\iff {\displaystyle \frac{2}{9}}{x}^4-{\displaystyle \frac{16}{9}}{x}^2+{\displaystyle \frac{23}{9}}={\displaystyle \frac{1}{x}}\iff 2x^4-16x^2-{\displaystyle \frac{9}{x}}+23=0$.
Ta thấy hàm số $F\left(x\right)=2x^4-16x^2-{\displaystyle \frac{9}{x}}+23$ lên tục trên $(0;+\mathrm{\infty })$.
Có $F\left({\displaystyle \frac{1}{10}}\right)=-67,1598;F\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)={\displaystyle \frac{337}{126}};F\left(1\right)=0;F\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)=-{\displaystyle \frac{1903}{324}};F\left(3\right)=38$.
Suy ra $F\left({\displaystyle \frac{1}{10}}\right).F\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)<0;F\left(1\right)=0;F\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right).F\left(3\right)<0$ nên phương trình có 3 nghiệm phân biệt $x_1\in (0;1),x_2=1,x_3\in (2;+\mathrm{\infty })$.
Trên $(-\mathrm{\infty };0)$ dễ dàng nhận thấy $F\left(x\right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_4\in (-3;-2),x_5\in (-2;-1)$ do $F(-3)=44;F(-2)=-{\displaystyle \frac{9}{2}};F(-1)=18$.
Từ đó suy ra phương trình: $f^{\prime }(1-x^2)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ có 5 nghiệm phân biệt (minh họa đồ thị).
Suy ra phương trình $g^{\prime }\left(x\right)=0$ có 5 nghiệm phân biệt.
Vậy đồ thị hàm số $y=g^{\prime }\left(x\right)$ cắt trục $Ox$ tại 5 điểm phân biệt.