Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$. Biết rằng hàm số $y={f}'\left( 1-{{x}^{2}} \right)$ có đồ thị đối xứng qua trục $Oy$, như hình vẽ.
Đặt $g\left( x \right)=f\left( \dfrac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}} \right)+\dfrac{2}{x}$. Đồ thị hàm số $y={g}'\left( x \right)$ cắt trục $Ox$ tại bao nhiêu điểm?
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 7.
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 7.
Do hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm bậc ba nên hàm số $y={f}'\left( 1-{{x}^{2}} \right)$ phải là hàm bậc bốn. Vì hàm số này có đồ thị đối xứng qua $Oy$ nên hàm số $y={f}'\left( 1-{{x}^{2}} \right)$ phải là hàm trùng phương.
Đặt $h\left( x \right)={f}'\left( 1-{{x}^{2}} \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c \left( a>0 \right)$. Ta có ${h}'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+2bx$.
Do đồ thị $y=h\left( x \right)$ có điểm cực trị $A\left( 2;-1 \right)$ và đi qua điểm $B\left( 1;1 \right)$ nên ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {h}'\left( 2 \right)=0 \\
& h\left( 2 \right)=-1 \\
& h\left( 1 \right)=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 32a+4b=0 \\
& 16a+4b+c=-1 \\
& a+b+c=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{2}{9} \\
& b=-\dfrac{16}{9} \\
& c=\dfrac{23}{9} \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra $ h\left( x \right)={f}'\left( 1-{{x}^{2}} \right)=\dfrac{2}{9}{{x}^{4}}-\dfrac{16}{9}{{x}^{2}}+\dfrac{23}{9} $.
Ta có $g\left( x \right)=f\left( 1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)+\dfrac{2}{x},\left( x\ne 0 \right)$ có ${g}'\left( x \right)=\dfrac{2}{{{x}^{3}}}{f}'\left( 1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)-\dfrac{2}{{{x}^{2}}}=\dfrac{2}{{{x}^{2}}}\left( \dfrac{1}{x}{f}'\left( 1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)-1 \right)$.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $y={g}'\left( x \right)$ và $Ox$ là:
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}{f}'\left( 1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)=1$.
Đặt $t=\dfrac{1}{x}$ ta được phương trình $t{f}'\left( 1-{{t}^{2}} \right)=1\Rightarrow {f}'\left( 1-{{x}^{2}} \right)=\dfrac{1}{x} \left( \forall x\ne 0 \right)$.
Xét phương trình: ${f}'\left( 1-{{x}^{2}} \right)=\dfrac{1}{x}\Leftrightarrow \dfrac{2}{9}{{x}^{4}}-\dfrac{16}{9}{{x}^{2}}+\dfrac{23}{9}=\dfrac{1}{x}\Leftrightarrow 2{{x}^{4}}-16{{x}^{2}}-\dfrac{9}{x}+23=0$.
Ta thấy hàm số $F\left( x \right)=2{{x}^{4}}-16{{x}^{2}}-\dfrac{9}{x}+23$ lên tục trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Có $F\left( \dfrac{1}{10} \right)=-67,1598; F\left( \dfrac{3}{4} \right)=\dfrac{337}{126}; F\left( 1 \right)=0; F\left( \dfrac{4}{3} \right)=-\dfrac{1903}{324}; F\left( 3 \right)=38$.
Suy ra $F\left( \dfrac{1}{10} \right).F\left( \dfrac{3}{4} \right)<0; F\left( 1 \right)=0; F\left( \dfrac{4}{3} \right) .F\left( 3 \right)<0$ nên phương trình có 3 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}\in \left( 0;1 \right), {{x}_{2}}=1, {{x}_{3}}\in \left( 2;+\infty \right)$.
Trên $\left( -\infty ;0 \right)$ dễ dàng nhận thấy $F\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{4}}\in \left( -3;-2 \right), {{x}_{5}}\in \left( -2;-1 \right)$ do $F\left( -3 \right)=44; F\left( -2 \right)=-\dfrac{9}{2}; F\left( -1 \right)=18$.
Từ đó suy ra phương trình: ${f}'\left( 1-{{x}^{2}} \right)=\dfrac{1}{x}$ có 5 nghiệm phân biệt (minh họa đồ thị).
Suy ra phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có 5 nghiệm phân biệt.
Vậy đồ thị hàm số $y={g}'\left( x \right)$ cắt trục $Ox$ tại 5 điểm phân biệt.
Đặt $h\left( x \right)={f}'\left( 1-{{x}^{2}} \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c \left( a>0 \right)$. Ta có ${h}'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+2bx$.
Do đồ thị $y=h\left( x \right)$ có điểm cực trị $A\left( 2;-1 \right)$ và đi qua điểm $B\left( 1;1 \right)$ nên ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {h}'\left( 2 \right)=0 \\
& h\left( 2 \right)=-1 \\
& h\left( 1 \right)=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 32a+4b=0 \\
& 16a+4b+c=-1 \\
& a+b+c=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{2}{9} \\
& b=-\dfrac{16}{9} \\
& c=\dfrac{23}{9} \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra $ h\left( x \right)={f}'\left( 1-{{x}^{2}} \right)=\dfrac{2}{9}{{x}^{4}}-\dfrac{16}{9}{{x}^{2}}+\dfrac{23}{9} $.
Ta có $g\left( x \right)=f\left( 1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)+\dfrac{2}{x},\left( x\ne 0 \right)$ có ${g}'\left( x \right)=\dfrac{2}{{{x}^{3}}}{f}'\left( 1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)-\dfrac{2}{{{x}^{2}}}=\dfrac{2}{{{x}^{2}}}\left( \dfrac{1}{x}{f}'\left( 1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)-1 \right)$.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $y={g}'\left( x \right)$ và $Ox$ là:
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}{f}'\left( 1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)=1$.
Đặt $t=\dfrac{1}{x}$ ta được phương trình $t{f}'\left( 1-{{t}^{2}} \right)=1\Rightarrow {f}'\left( 1-{{x}^{2}} \right)=\dfrac{1}{x} \left( \forall x\ne 0 \right)$.
Xét phương trình: ${f}'\left( 1-{{x}^{2}} \right)=\dfrac{1}{x}\Leftrightarrow \dfrac{2}{9}{{x}^{4}}-\dfrac{16}{9}{{x}^{2}}+\dfrac{23}{9}=\dfrac{1}{x}\Leftrightarrow 2{{x}^{4}}-16{{x}^{2}}-\dfrac{9}{x}+23=0$.
Ta thấy hàm số $F\left( x \right)=2{{x}^{4}}-16{{x}^{2}}-\dfrac{9}{x}+23$ lên tục trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Có $F\left( \dfrac{1}{10} \right)=-67,1598; F\left( \dfrac{3}{4} \right)=\dfrac{337}{126}; F\left( 1 \right)=0; F\left( \dfrac{4}{3} \right)=-\dfrac{1903}{324}; F\left( 3 \right)=38$.
Suy ra $F\left( \dfrac{1}{10} \right).F\left( \dfrac{3}{4} \right)<0; F\left( 1 \right)=0; F\left( \dfrac{4}{3} \right) .F\left( 3 \right)<0$ nên phương trình có 3 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}\in \left( 0;1 \right), {{x}_{2}}=1, {{x}_{3}}\in \left( 2;+\infty \right)$.
Trên $\left( -\infty ;0 \right)$ dễ dàng nhận thấy $F\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{4}}\in \left( -3;-2 \right), {{x}_{5}}\in \left( -2;-1 \right)$ do $F\left( -3 \right)=44; F\left( -2 \right)=-\dfrac{9}{2}; F\left( -1 \right)=18$.
Suy ra phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có 5 nghiệm phân biệt.
Vậy đồ thị hàm số $y={g}'\left( x \right)$ cắt trục $Ox$ tại 5 điểm phân biệt.
Đáp án A.