Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)\sqrt{x-1}}{\left( x+1 \right)\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-f\left( x \right) \right]}$
A. $5$.
B. $3$.
C. $6$.
D. $4$.
A. $5$.
B. $3$.
C. $6$.
D. $4$.
Nhận xét 1: Với $x_{0}^{{}}\ge 1$ và $\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)$ hoặc $\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)$ có kết quả là $+\infty $ hoặc $-\infty $ thì $x=x_{0}^{{}}$ là tiệm cận đứng của của đồ thị hàm số $g\left( x \right)$.
Nhận xét 2: Dựa vào đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ ta có: $f\left( x \right)=a\left( x-x_{1}^{{}} \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}$.
Ta có $\left( x+1 \right)\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-f\left( x \right) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& f\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)=1 \\
\end{aligned} \right.$.
$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=x_{1}^{{}} , 0<x_{1}^{{}}<1 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
$f\left( x \right)=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=x_{2}^{{}} , 1<x_{2}^{{}}<2 \\
& x=x_{3}^{{}} , x_{3}^{{}}>2 \\
\end{aligned} \right. $ suy ra $ f\left( x \right)-1=a\left( x-1 \right)\left( x-x_{2}^{{}} \right)\left( x-x_{3}^{{}} \right)$.
Khi đó ta có $g\left( x \right)=\dfrac{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)\sqrt{x-1}}{\left( x+1 \right)\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-f\left( x \right) \right]}=\dfrac{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\sqrt{x-1}}{\left( x+1 \right).f\left( x \right)\left[ f\left( x \right)-1 \right]}$.
$g\left( x \right)=\dfrac{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\sqrt{x-1}}{\left( x+1 \right).a\left( x-x_{1}^{{}} \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}.a\left( x-1 \right)\left( x-x_{2}^{{}} \right)\left( x-x_{3}^{{}} \right)}=\dfrac{\sqrt{x-1}}{{{a}^{2}}\left( x+1 \right)\left( x-x_{1}^{{}} \right)\left( x-2 \right)\left( x-x_{2}^{{}} \right)\left( x-x_{3}^{{}} \right)}$.
$x=-1 , x=x_{1}^{{}}$ không phải tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ không thỏa mãn điều kiện $x_{0}^{{}}\ge 1$. Đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ có $3$ đường tiệm cận đứng là: $x=2, x=x_{2}^{{}}, x=x_{3}^{{}}$.
Nhận xét 2: Dựa vào đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ ta có: $f\left( x \right)=a\left( x-x_{1}^{{}} \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}$.
Ta có $\left( x+1 \right)\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-f\left( x \right) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& f\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)=1 \\
\end{aligned} \right.$.
$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=x_{1}^{{}} , 0<x_{1}^{{}}<1 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
$f\left( x \right)=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=x_{2}^{{}} , 1<x_{2}^{{}}<2 \\
& x=x_{3}^{{}} , x_{3}^{{}}>2 \\
\end{aligned} \right. $ suy ra $ f\left( x \right)-1=a\left( x-1 \right)\left( x-x_{2}^{{}} \right)\left( x-x_{3}^{{}} \right)$.
Khi đó ta có $g\left( x \right)=\dfrac{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)\sqrt{x-1}}{\left( x+1 \right)\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-f\left( x \right) \right]}=\dfrac{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\sqrt{x-1}}{\left( x+1 \right).f\left( x \right)\left[ f\left( x \right)-1 \right]}$.
$g\left( x \right)=\dfrac{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\sqrt{x-1}}{\left( x+1 \right).a\left( x-x_{1}^{{}} \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}.a\left( x-1 \right)\left( x-x_{2}^{{}} \right)\left( x-x_{3}^{{}} \right)}=\dfrac{\sqrt{x-1}}{{{a}^{2}}\left( x+1 \right)\left( x-x_{1}^{{}} \right)\left( x-2 \right)\left( x-x_{2}^{{}} \right)\left( x-x_{3}^{{}} \right)}$.
$x=-1 , x=x_{1}^{{}}$ không phải tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ không thỏa mãn điều kiện $x_{0}^{{}}\ge 1$. Đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ có $3$ đường tiệm cận đứng là: $x=2, x=x_{2}^{{}}, x=x_{3}^{{}}$.
Đáp án B.