Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $f\left( x \right)$ có đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Biết hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực trị tại hai điểm ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{2}}={{x}_{1}}+2$ và $f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=1$. Gọi ${{S}_{1}}, {{S}_{2}}$ là diện tích của hai hình phẳng được cho trong hình vẽ bên. Tính tỉ số $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$
A. $\dfrac{5}{4}$.
B. $\dfrac{3}{5}$.
C. $\dfrac{3}{8}$.
D. $\dfrac{5}{8}$.
A. $\dfrac{5}{4}$.
B. $\dfrac{3}{5}$.
C. $\dfrac{3}{8}$.
D. $\dfrac{5}{8}$.
Điểm uốn của đồ thị hàm số là điểm $A$
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{2}}-{{x}_{1}}=2 \\
& f({{x}_{1}})+f\left( {{x}_{2}} \right)=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{A}}=1+{{x}_{1}} \\
& f({{x}_{A}})=1 \\
\end{aligned} \right.$
Tịnh tiến điểm A về gốc tọa độ
Ta được đồ thị hàm số mới
${{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=1$
$\begin{aligned}
& g'(x)=k\left( {{x}^{2}}-1 \right)\to g(x)=\dfrac{k{{x}^{3}}}{3}-kx+C \\
& g(0)=0\Rightarrow C=0;g(1)=\dfrac{-2k}{3}\to \dfrac{{{S}_{2}}}{{{S}_{1}}}=\dfrac{\int\limits_{-1}^{0}{\left| \dfrac{k{{x}^{3}}}{3}-kx \right|}}{\left| \dfrac{-2k}{3}.1 \right|-\int\limits_{-1}^{0}{\left| \dfrac{k{{x}^{3}}}{3}-kx \right|}}=\dfrac{5:12}{2:3-5:12}=\dfrac{5}{3}\Rightarrow \dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{3}{5}. \\
\end{aligned}$
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{2}}-{{x}_{1}}=2 \\
& f({{x}_{1}})+f\left( {{x}_{2}} \right)=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{A}}=1+{{x}_{1}} \\
& f({{x}_{A}})=1 \\
\end{aligned} \right.$
Tịnh tiến điểm A về gốc tọa độ
Ta được đồ thị hàm số mới
${{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=1$
$\begin{aligned}
& g'(x)=k\left( {{x}^{2}}-1 \right)\to g(x)=\dfrac{k{{x}^{3}}}{3}-kx+C \\
& g(0)=0\Rightarrow C=0;g(1)=\dfrac{-2k}{3}\to \dfrac{{{S}_{2}}}{{{S}_{1}}}=\dfrac{\int\limits_{-1}^{0}{\left| \dfrac{k{{x}^{3}}}{3}-kx \right|}}{\left| \dfrac{-2k}{3}.1 \right|-\int\limits_{-1}^{0}{\left| \dfrac{k{{x}^{3}}}{3}-kx \right|}}=\dfrac{5:12}{2:3-5:12}=\dfrac{5}{3}\Rightarrow \dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{3}{5}. \\
\end{aligned}$
Đáp án B.