Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số $g\left( x...

Xét $u\left( x \right)=f\left( xf\left( x \right) \right)+\dfrac{3}{4}$.
Ta có: $f\left( x \right)+\dfrac{3}{4}=\dfrac{7}{16}x{{\left( x-3 \right)}^{2}}\Rightarrow u\left( x \right)=f\left( xf\left( x \right) \right)+\dfrac{3}{4}=\dfrac{7}{16}xf\left( x \right){{\left( xf\left( x \right)-3 \right)}^{2}}$ có 4 lần đổi dấu
Xét ${u}'\left( x \right)=\left( f\left( x \right)+x{f}'\left( x \right) \right){f}'\left( xf\left( x \right) \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)+x{f}'\left( x \right)=0\Rightarrow 3{{n}_{0}}\ \left( 1 \right) \\
& xf\left( x \right)=1\Rightarrow 4{{n}_{0}}\ \left( 2 \right) \\
& xf\left( x \right)=3\Rightarrow 2{{n}_{0}}\ \left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right. $ có $ 9$ lần đổi dấu.
Thật vậy:
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \dfrac{7}{16}{{x}^{3}}-\dfrac{21}{8}{{x}^{2}}+\dfrac{63}{16}x-\dfrac{3}{4}+x\left( \dfrac{21}{16}{{x}^{2}}-\dfrac{21}{4}x+\dfrac{63}{16} \right)=0\Rightarrow 3{{n}_{0}}$.
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow x\left( \dfrac{7}{16}{{x}^{3}}-\dfrac{21}{8}{{x}^{2}}+\dfrac{63}{16}x-\dfrac{3}{4} \right)-1=0\Rightarrow 4{{n}_{0}}$
Và $\left( 3 \right)\Leftrightarrow x\left( \dfrac{7}{16}{{x}^{3}}-\dfrac{21}{8}{{x}^{2}}+\dfrac{63}{16}x-\dfrac{3}{4} \right)-3=0\Rightarrow 2{{n}_{0}}$.
Do đó: $u\left( x \right)$ có 9 điểm cực trị
Vậy hàm số $g\left( x \right)=\left| u\left( x \right) \right|$ có $9+4=13$ điểm cực trị.