Cho hàm $f$ xác định, đơn điệu giảm, có đạo hàm liên tục trên...

Xét $3{{\left[ f(x) \right]}^{2}}=2\int_{0}^{x}{\left[ {{\left( f(t) \right)}^{3}}+{{\left( {{f}^{\prime }}(t) \right)}^{3}} \right]}\text{d}t+2x, \forall x\in \mathbb{R} (*)$
Từ (*), thay $x=0$, ta nhận được $f(0)=0.$ Hơn nữa, đạo hàm hai vế (*), ta có
$\begin{aligned}
& 6f(x){{f}^{\prime }}(x)=2{{\left( f(x) \right)}^{3}}+2{{\left( {{f}^{\prime }}(x) \right)}^{3}}+2, \forall x\in \mathbb{R} \\
& \Leftrightarrow \left[ f'(x)+f(x)+1 \right]\left[ {{\left( f'(x)-f(x) \right)}^{2}}+{{(f(x)-1)}^{2}}+{{({f}'(x)-1)}^{2}} \right]=0, \forall x\in \mathbb{R}. \\
\end{aligned}$
Vì $f$ đơn điệu giảm trên $\mathbb{R}$ nên $f'(x)\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên
${{\left( {f}'(x)-f(x) \right)}^{2}}+{{(f(x)-1)}^{2}}+{{({f}'(x)-1)}^{2}}\ge {{(f'(x)-1)}^{2}}>0.$
Từ đó, ta nhận được
$\begin{aligned}
& f'(x)+f(x)+1=0,\ \forall x\in \mathbb{R} \\
& \Leftrightarrow {{\left[ {{e}^{x}}f(x) \right]}^{\prime }}=-{{e}^{x}},\ \forall x\in \mathbb{R} \\
& \Leftrightarrow \exists \ C\in \mathbb{R}:\ f(x)=-1+C{{e}^{-x}},\ \forall x\in \mathbb{R}. \\
\end{aligned}$
Vì $f(0)=0$ nên $C=1$. Do đó $f(x)=-1+{{e}^{-x}},$ với mọi $x\in \mathbb{R},$ là hàm duy nhất thỏa đề
Do đó $\int_{0}^{1}{2021{{\left( f(x) \right)}^{2}}x}\text{d}x=2021\int_{0}^{1}{{{(-1+{{e}^{-x}})}^{2}}x}\text{d}x=2021\cdot \left( \dfrac{4}{e}-\dfrac{3}{4{{e}^{2}}}-\dfrac{5}{4} \right)\in (242;243).$