Cho hàm $f (x)$ liên tục trên $[0; 1]$ ...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hàm

f (x)

liên tục trên

[0; 1]

, biết

\int_{0}^{1} [f^{2} (x) + 2 \ln^{2} (\frac{2}{e})] d x = 2 \int_{0}^{1} [f (x) \ln (x + 1)] d x .

Tích phân

I = \int_{0}^{1} f (x) d x .

A.

I = \ln \frac{e}{4} .

B.

I = \ln \frac{4}{e} .

C.

I = \ln \frac{e}{2} .

D.

I = \ln \frac{2}{e} .

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ta tính được:

\int_{0}^{1} \ln^{2} (x + 1) d x = 2 \ln^{2} \frac{2}{e} = \int_{0}^{1} 2 \ln^{2} \frac{2}{e} d x .

Do đó giả thiết tương đương với:

\int_{0}^{1} {[f (x) - \ln (x + 1)]}^{2} d x = 0 \Leftrightarrow f (x) = \ln (x + 1), \forall x \in [0; 1]

Suy ra

I = \int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} \ln (x + 1) d x = \ln \frac{4}{e} .

Đáp án B.

Cho hàm f(x) liên tục trên [0;1]...