Google
Câu hỏi: Cho hàm $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 0;1 \right]$, biết $\int\limits_{0}^{1}{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)+2{{\ln }^{2}}\left( \dfrac{2}{e} \right) \right]dx}=2\int\limits_{0}^{1}{\left[ f\left( x \right)\ln \left( x+1 \right) \right]}dx.$ Tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}.$
A. $I=\ln \dfrac{e}{4}.$
B. $I=\ln \dfrac{4}{e}.$
C. $I=\ln \dfrac{e}{2}.$
D. $I=\ln \dfrac{2}{e}.$
A. $I=\ln \dfrac{e}{4}.$
B. $I=\ln \dfrac{4}{e}.$
C. $I=\ln \dfrac{e}{2}.$
D. $I=\ln \dfrac{2}{e}.$
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ta tính được:
$\int\limits_{0}^{1}{{{\ln }^{2}}\left( x+1 \right)dx}=2{{\ln }^{2}}\dfrac{2}{e}=\int\limits_{0}^{1}{2{{\ln }^{2}}\dfrac{2}{e}dx.}$
Do đó giả thiết tương đương với:
$\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right)-\ln \left( x+1 \right) \right]}^{2}}dx=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=\ln \left( x+1 \right),\forall x\in \left[ 0;1 \right]}$
Suy ra $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\ln \left( x+1 \right)dx}=\ln \dfrac{4}{e}.$
$\int\limits_{0}^{1}{{{\ln }^{2}}\left( x+1 \right)dx}=2{{\ln }^{2}}\dfrac{2}{e}=\int\limits_{0}^{1}{2{{\ln }^{2}}\dfrac{2}{e}dx.}$
Do đó giả thiết tương đương với:
$\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right)-\ln \left( x+1 \right) \right]}^{2}}dx=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=\ln \left( x+1 \right),\forall x\in \left[ 0;1 \right]}$
Suy ra $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\ln \left( x+1 \right)dx}=\ln \dfrac{4}{e}.$
Đáp án B.