Google
Câu hỏi: Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn $x,y>1$ và ${{\log }_{3}}{{\left[ \left( x+1 \right)\left( y+1 \right) \right]}^{y+1}}=9-\left( x-1 \right)\left( y+1 \right).$ Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{x}^{3}}+{{y}^{3}}-57\left( x+y \right)$ là một số thực có dạng $a=b\sqrt{7}\left( a,b\in \mathbb{R} \right).$ Tính giá trị của $a+b.$
A. $a+b=-28.$
B. $a+b=-30$
C. $a+b=-29$
D. $a+b=-31$
A. $a+b=-28.$
B. $a+b=-30$
C. $a+b=-29$
D. $a+b=-31$
Ta có ${{\log }_{3}}{{\left[ \left( x+1 \right)\left( y+1 \right) \right]}^{y+1}}=9-\left( x-1 \right)\left( y+1 \right)\Leftrightarrow \left( y+1 \right){{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)=9-\left( x-1 \right)\left( y+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)=\dfrac{9}{y+1}-\left( x-1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( y+1 \right)=\dfrac{9}{y+1}-x+1.$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-1=-{{\log }_{3}}\left( y+1 \right)+\dfrac{9}{y+1}\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x+1={{\log }_{3}}\dfrac{9}{y+1}+\dfrac{9}{y+1}\left( 1 \right).$
Xét hàm số $y=f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t$ có $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 3}+1>0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right),$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right).$
Từ $\left( 1 \right),$ ta có $f\left( x+1 \right)=f\left( \dfrac{9}{y+1} \right)\Leftrightarrow x+1=\dfrac{9}{y+1}\Leftrightarrow \left( x+1 \right)\left( y+1 \right)=9\Leftrightarrow xy+x+y=8.$
Khi đó $P={{x}^{3}}+{{y}^{3}}-57\left( x+y \right)={{\left( x+y \right)}^{3}}-3xy\left( x+y \right)-57\left( x+y \right)$
$={{\left( x+y \right)}^{3}}-3\left( 8-x-y \right)\left( x+y \right)-57\left( x+y \right)$
Đặt $t=x+y,t>2\Rightarrow g\left( t \right)={{t}^{3}}-3\left( 8-t \right)t-57t={{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-81t$ với $t>2.$
Ta có $g'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+6t-81=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1+2\sqrt{7}\left( n \right) \\
& t=-1-2\sqrt{7}\left( l \right) \\
\end{aligned} \right..$
Ta có bảng biến thiên của hàm $g\left( t \right)$ trên $\left( 2;+\infty \right).$
Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy ${{P}_{\min }}=g\left( -1+2\sqrt{7} \right)=83-112\sqrt{7}.$
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& a=83 \\
& b=-112 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b=-29.$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)=\dfrac{9}{y+1}-\left( x-1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( y+1 \right)=\dfrac{9}{y+1}-x+1.$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-1=-{{\log }_{3}}\left( y+1 \right)+\dfrac{9}{y+1}\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x+1={{\log }_{3}}\dfrac{9}{y+1}+\dfrac{9}{y+1}\left( 1 \right).$
Xét hàm số $y=f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t$ có $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 3}+1>0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right),$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right).$
Từ $\left( 1 \right),$ ta có $f\left( x+1 \right)=f\left( \dfrac{9}{y+1} \right)\Leftrightarrow x+1=\dfrac{9}{y+1}\Leftrightarrow \left( x+1 \right)\left( y+1 \right)=9\Leftrightarrow xy+x+y=8.$
Khi đó $P={{x}^{3}}+{{y}^{3}}-57\left( x+y \right)={{\left( x+y \right)}^{3}}-3xy\left( x+y \right)-57\left( x+y \right)$
$={{\left( x+y \right)}^{3}}-3\left( 8-x-y \right)\left( x+y \right)-57\left( x+y \right)$
Đặt $t=x+y,t>2\Rightarrow g\left( t \right)={{t}^{3}}-3\left( 8-t \right)t-57t={{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-81t$ với $t>2.$
Ta có $g'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+6t-81=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1+2\sqrt{7}\left( n \right) \\
& t=-1-2\sqrt{7}\left( l \right) \\
\end{aligned} \right..$
Ta có bảng biến thiên của hàm $g\left( t \right)$ trên $\left( 2;+\infty \right).$
Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy ${{P}_{\min }}=g\left( -1+2\sqrt{7} \right)=83-112\sqrt{7}.$
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& a=83 \\
& b=-112 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b=-29.$
Đáp án C.