Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn ${{\log...

Cách giải:
Sưu tầm Toanmath
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{aligned}
& 2x-4y>0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1\ne 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-2y>0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right..$
Theo bài ra ta có
${{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}\left( 2x-4y \right)=1$
$\Leftrightarrow 2x-4y={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1$
$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=4\left( 1 \right)$
Ta có $S=4x+3y+5=4\left( x-1 \right)+3\left( y+2 \right)-7.$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
${{\left[ 4\left( x-1 \right)+3\left( y+2 \right) \right]}^{2}}\le \left( {{4}^{2}}+{{3}^{2}} \right)\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}} \right]=25.4=100$
$\Leftrightarrow 4\left( x-1 \right)+3\left( y+2 \right)\le 10$
$\Leftrightarrow 4\left( x-1 \right)+3\left( y+2 \right)-7\le 3$
$\Rightarrow {{S}_{max}}=3\Leftrightarrow \dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y+2}{3}\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) ta giải được $\left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{13}{5};y=-\dfrac{4}{5}\left( tm \right) \\
& x=-\dfrac{3}{5};y=-\dfrac{22}{5}\left( ktm \right) \\
\end{aligned} \right.$
Vậy khi đó $P=xy=-\dfrac{52}{25}.$