Google
Câu hỏi: Cho hai số thực $x , y$ thỏa mãn ${{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+7}{x-2y-1}+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+8y+9=0$. Tìm giá trị lớn nhất của $S=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$.
A. $2\sqrt{5}+3$.
B. $2\sqrt{5}+6$.
C. $3\sqrt{5}+3$.
D. $3\sqrt{5}+6$.
A. $2\sqrt{5}+3$.
B. $2\sqrt{5}+6$.
C. $3\sqrt{5}+3$.
D. $3\sqrt{5}+6$.
Đk: $x-2y-1>0$.
${{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+7}{x-2y-1}+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+8y+9=0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+7 \right)+\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+7 \right)={{\log }_{2}}\left( 4x-8y-4 \right)+\left( 4x-8y-4 \right)$. (*)
Xét hàm $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ với $t>0$.
Có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0 , \forall t\in \left( 0 ; +\infty \right)\Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; +\infty \right)$.
Khi đó (*) $\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+7 \right)=f\left( 4x-8y-4 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+7=4x-8y-4$.
Ta có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+7=4x-8y-4\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+11=4\left( x-2y \right)\le 4\sqrt{5\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}$.
Suy ra $\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)-4\sqrt{5\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}+11\le 0\Rightarrow {{S}^{2}}-4\sqrt{5}S+11\le 0\Leftrightarrow -3+2\sqrt{5}\le S\le 3+2\sqrt{5}.$
Suy ra $Max S=3+2\sqrt{5}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{-2} \\
& \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=3+2\sqrt{5} \\
& x-2y-1>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{10+3\sqrt{5}}{5} \\
& y=\dfrac{-20-6\sqrt{5}}{5} \\
\end{aligned} \right.$.
${{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+7}{x-2y-1}+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+8y+9=0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+7 \right)+\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+7 \right)={{\log }_{2}}\left( 4x-8y-4 \right)+\left( 4x-8y-4 \right)$. (*)
Xét hàm $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ với $t>0$.
Có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0 , \forall t\in \left( 0 ; +\infty \right)\Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; +\infty \right)$.
Khi đó (*) $\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+7 \right)=f\left( 4x-8y-4 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+7=4x-8y-4$.
Ta có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+7=4x-8y-4\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+11=4\left( x-2y \right)\le 4\sqrt{5\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}$.
Suy ra $\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)-4\sqrt{5\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}+11\le 0\Rightarrow {{S}^{2}}-4\sqrt{5}S+11\le 0\Leftrightarrow -3+2\sqrt{5}\le S\le 3+2\sqrt{5}.$
Suy ra $Max S=3+2\sqrt{5}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{-2} \\
& \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=3+2\sqrt{5} \\
& x-2y-1>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{10+3\sqrt{5}}{5} \\
& y=\dfrac{-20-6\sqrt{5}}{5} \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án A.